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5.2 平面向量的数量积及其应用,高考理数,一、向量数量积的有关概念(4个) 1.向量a与b的夹角:已知两个非零向量a、b,过O点作 =a, =b,则AOB=叫做向量a与b的夹 角,记作.向量a与b夹角的范围:0180. 当= 90 时,a与b垂直,记作ab;当= 0 时,a与b同向;当= 180 时,a与b反向. 2.向量a与b的数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则把|a|b|cos 叫做a与b的数量积 (或内积),记作ab= |a|b|cos . 3.向量的投影:|b|cos 叫做b在a的方向上的投影,它是一个实数,而不是向量.当090时,它是 正值;当90180时,它是负值;当=90时,它是0. 4.ab的几何意义:ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积. 二、向量的两个充要条件 若a=(x1,y1),b=(x2,y2)均为非零向量. 1.aba=b x1y2-x2y1=0 .,知识清单,当a与b同向时,=0ab=|a|b|;当a与b反向时,=180ab=-|a|b|. 2.ab=90ab=0 x1x2+y1y2=0 . 三、向量的数量积的运算律及常用公式 1.运算律:(1)ab=ba;(2)(a)b=(ab)=a(b)(R);(3)(a+b)c=ac+bc. 2.常用公式:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab= x1x2+y1y2 . (2)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|= . (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则| |= .(平面内两点间的距离公式) (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos = = . (5)向量中的不等式 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则-|a|b|ab|a|b|- x1x2+y1y2 , 由此可得|x1x2+y1y2| (柯西不等式).,1.向量的数量积与实数乘法的比较,2.几个常用结论 在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)若 = ,则存在使得I为ABC的内心; a +b +c =0P为ABC的内心. (2)| |=| |=| |P为ABC的外心.,【知识拓展】,(3) + + =0G为ABC的重心. (4) = = P为ABC的垂心. (5)设O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则SOAB= |x1y2-x2y1|. (6)向量 、 、 中三终点A、B、C共线存在实数、使得 = + 且+=1.,1.求平面向量夹角的方法: 例1 (2015广西柳州模拟,10)设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,|a+b|=|c|,则向量a,b的夹角是 ( ),突破方法,方法1 平面向量的夹角、模,A. B. C. D. 解析 由|a+b|=|c|,得|a+b|2=|c|2, 即a2+b2+2ab=c2, 又因为|a|=|b|=|c|, 所以ab=- =|a|b|cos, 所以cos=- , 故= . 答案 C 1-1 (2016贵州贵阳一中联考,14,5分)若平面向量,满足|=1,|1,且以向量,为邻边的平行 四边形的面积为 ,则与的夹角的取值范围是 . 答案 解析 依题意有|sin = ,sin = ,由|1,得sin ,又0,故有 .,2.利用向量数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法: (1)|a|2=a2=aa; (2)|ab|2=(ab)2=a22ab+b2; (3)若a=(x,y),则|a|= . 例2 (2015云南昆明质量检测,10)在ABC中,BC边上的垂直平分线与BC,AC分别交于点D,M, 若 =6,且| |=2,则| |= ( ) A. B. C.4 D.2 解析 如图, = - ,设| |=x,| |=y, MD垂直平分BC,则| |=| |, 6= = ( - ),6= - , = -6, 又| |=| |,| |2=| |2, | - |2=| |2-2 +| |2, | |2-2( -6)+| |2=| |2, 4-2 +12+| |2-| |2=0, 16-2 +| |2-| |2=0, 16-2x(x+y)+x2-y2=0, 16=(x+y)2, | |=x+y=4. 答案 C 2-1 (2016安徽安庆一模,9,5分)已知在ABC中,D为BC的中点,若A=120, =-1,则| |的 最小值为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 解析 显然有| |= | + |.因为 =-1,A=120,所以| | |= =2,可得| |2= (| |2+| |2-2) (2| | |-2)= ,所以| |min= . 2-2 (2015四川绵阳二诊,11,5分)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,ab=- ,=60,则|c|的最大值 等于 ( ) A.2 B. C. D.1 答案 A 解析 由ab=- 得=120,设 =a, =b, =c,则AOB=120, =a-c, =b-c,=60,ACB=60,O、A、C、B四点共圆,|c|的最大值应为圆的直径2R.因为在AOB中, OA=OB=1,AOB=120,所以AB= ,由正弦定理得2R= =2.故选A.,平面几何经常涉及距离、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及 向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答部分几何问题. 用向量方法解决平面几何问题可分三步: 例3 (2012上海,12,4分)在平行四边形ABCD中,A= ,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分 别是边BC、CD上的点,且满足 = ,则 的取值范围是 . 解题思路 建立平面直 角坐标系令 = =,方法2 用向量解决平面几何问题的方法,写出相应点的坐标 将 的坐标表示转 化为关于的二次函数求 的取值范围 解析 建立平面直角坐标系,如图. 则B(2,0),C ,D . 令 = =,则M ,N . = + =-2-2+5=-(+1)2+6.01, 2,5.,答案 2,5 3-1 (2016贵州盟校联考,11,5分)已知点G是ABC的重心,点P是GBC内一点,若 = + ,则+的取值范围是 ( ) A. B. C. D.(1,2) 答案 B 解析 点P是GBC内一点,+1, 当且仅当点P在线段BC上时,+最大,等于1, 当P和G重合时,+最小, 此时, = + = = ( + )= , = , +1,故选B.,向量不能比较大小,向量的模可以比较大小. 公式依据:|a|2=aa=a20;|ab|a|b|;|a|-|b|ab|a|+|b|. 例4 (2013湖南,6,5分)已知a,b是单位向量,ab=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是 ( ) A. -1, +1 B. -1, +2 C.1, +1 D.1, +2 解析 由公式|a|-|b|a-b|得|c|-|a+b|c-a-b|=1, -1+|a+b|c|1+|a+b|,又a,b是单位向量,ab=0, |a+b|= ,-1+ |c|1+ . 答案 A 4-1 (2016河南师大附中3月月考,10,5分)若a,b,c均为单位向量,且ab=0,(a-c)(b-c)0,则|a+b-c| 的最大值为 ( ) A. -1 B.1 C. D.2,方法3 不等式、最值问题,答案 B 解析 设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y), 则x2+y2=1,a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y), 则(a-c)(b-c)=(1-x)(-x)+(-y)(1-y)=x2+y2-x-y=1-x-y0,即x+y1. 又a+b-c=(1-x,1-y), |a+b-c|= = . 解法一:如图. c=(x,y)对应点在 上,而式的几何意义为P点到 上点的距离,其最大值为1.,解法二:|a+b-c|= = = = , x+y1,|a+b-c| =1,最大值为1. 4-2 (2012安徽,14,5分)若平面向量a,b满足|2a-b|3,则ab的最小值是 . 答案 - 解析 由向量数量积的定义可知-|a|b|ab|a|b|a|b|-ab(当且仅当=时等号成 立). 由|2a-b|34|a|2-4ab+|b|29 9+4ab4|a|2+|b|24|a|b|-4ab ab- (当且仅当2|a|=|b|,=时取等号) ab的最小值为- .,
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