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第三节 二项式定理,【知识梳理】 1.二项式定理 (a+b)n=_, 其中右端为(a+b)n的二项展开式. 2.二项展开式的通项公式 第k+1项为:Tk+1=_.,3.二项式系数 (1)定义:二项式系数为:_.,(k0,1,2,n),(2)二项式系数的性质,【特别提醒】 1.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n+1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减小1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增加1直到n.,2.二项式系数与展开式项的系数的异同 在Tk+1= an-kbk中, 是该项的二项式系数,与该项的 系数是两个不同的概念,前者只是指 ,只与n和k有关, 恒为正,后者还与a,b有关,可正可负. 3.二项展开式中,偶数项的二项式系数与奇数项的二项 式系数的关系:,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-3P37习题1.3A组T5(2)改编)二项式 的展开式中,常数项的值是 ( ) A.240 B.60 C.192 D.180,【解析】选A.二项式 展开式的通项为Tr+1= 令6-3r=0,得r=2,所以常数 项为,2.(选修2-3P37习题1.3A组T4(2)改编)二项式(2a3- 3b2)10的展开式中各项系数的和为 . 【解析】令a=1,b=1,得:(2-3)10=1. 答案:1,感悟考题 试一试 3.(2015陕西高考)二项式(x+1)n(nN*)的展开式中 x2的系数为15,则n= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】选C.二项式(x+1)n(nN*)展开式的通项公式 为Tr+1= ,令n-r=2,则 =15,解之得r=4,n=6,故C 正确.,4.(2015天津高考)在 的展开式中,x2的系数 为 . 【解析】 所以当r=2时,x2的系数 为 . 答案:,5.(2014全国卷)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15, 则a= .(用数字填写答案) 【解析】因为 所以 解得a= . 答案:,6.(2014全国卷)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系 数为 .(用数字填写答案) 【解析】因为(x+y)8的展开式的通项为Tk+1= (0k8,kN), 当k=7时, 当k=6时,T7= x2y6=28x2y6, 所以(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的项为x8xy7+ (-y)28x2y6=-20x2y7,故系数为-20. 答案:-20,考向一 二项展开式的应用 【典例1】(1)(2016商丘模拟)设复数 (i是虚 数单位),则 = ( ) A.i B.-i C.-1+i D.-1-i,(2)设aZ,且0a13,若512016+a能被13整除, 则a= ( ) A.0 B.1 C.11 D.12,【解题导引】(1)根据待求式结构特点,联系二项展开 式,逆用二项式定理求解. (2)将512016分解成含有13的倍数的因式的形式.,【规范解答】(1)选D. =(1+x)2015-1=i2015-1=-1-i. (2)选D.由于51=52-1, 又由于13整除52,所以只需13整除1+a,0a13,aZ, 所以a=12.,【规律方法】 1.逆用二项式定理的关键 根据所给式的特点结合二项展开式的要求,使之具 备二项式定理右边的结构,然后逆用二项式定理求解.,2.利用二项式定理解决整除问题的思路 (1)观察除式与被除式间的关系. (2)将被除式拆成二项式. (3)结合二项式定理得出结论.,【变式训练】(2016成都模拟)487被7除的余数为 a(0a7),则 展开式中x-3的系数为 ( ) A.4320 B.-4320 C.20 D.-20,【解析】选B. 因为487被7除的余数为a(0a7),所以a=6, 所以 展开式的通项为 令6-3r=-3,可得r=3,所以 展开式中x-3的系数 为 (-6)3=-4320.,【加固训练】(2016武汉模拟)若 能被7整除,则x,n的值可能为 ( ) A.x=4,n=3 B.x=4,n=4 C.x=5,n=4 D.x=6,n=5,【解析】选C. 当x=5,n=4时,(1+x)n-1=64-1=3537, 能被7整除,故选C.,考向二 二项式系数的性质或各项系数和 【典例2】(1)(2015湖北高考)已知(1+x)n的展开式 中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项 式系数和为 ( ) A.212 B.211 C.210 D.29 (本题源自A版选修2-3P37A组T8),(2)(2015全国卷)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数 次幂项的系数之和为32,则a= . (本题源自A版选修2-3P40A组T8(1),【解题导引】(1)利用二项式系数的性质.二项式系数 之和为2n.奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式 系数和. (2)求出(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项,从而 确定a的值.,【规范解答】(1)选D. n=3+7=10,二项式系数之 和为210.奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式 系数和,所以奇数项的二项式系数和为29. (2)由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,故(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax,4ax3,x,6x3,x5,其系数之和为4a+4a+1+6+1=32,解得a=3. 答案:3,【母题变式】1.若本例题(2)条件“x的奇数次幂项” 变为“奇数项”,则a的值是 . 【解析】由(2)解析得(a+x)(1+x)4的展开式中的奇数 项分别为a,(6a+4)x2,(a+4)x4,所以其系数为a+(6a+4) +(a+4)=32,解得a=3. 答案:3,2.若本例题(2)条件“x的奇数次幂项”变为“各 项”,“32”变为“128”,则实数a的值为多少? 【解析】由题意令x=1,得(a+1)(1+1)4=128,解得a=7.,【易错警示】解答本例题(2)会出现以下错误: (1)“项的系数”与“二项式系数”混淆而致误. (2)“奇数次幂项”与“奇数项”混淆而致误.,【规律方法】 1.赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.如:,(1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,bR)的式子,求其展开式的各项系数之和,只需令x=1即可. (2)形如(ax+by)n(a,bR)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.,2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)的展 开式中(1)各项系数之和为f(1). (2)奇数项系数之和为a0+a2+a4+= (3)偶数项系数之和为a1+a3+a5+=,【变式训练】(2016石家庄模拟)已知(x-m)7=a0+a1x +a2x2+a7x7的展开式中x4的系数是-35,则a1+a2+a3 +a7= .,【解析】因为Tr+1= x7-r(-m)r, 所以 所以当x=1时,a0+a1+a2+a6+a7=0, 当x=0时,a0=-1,所以a1+a2+a3+a7=1. 答案:1,【加固训练】 1.(2016长春模拟)若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2 (x-2)2+a3(x-2)3+a11(x-2)11,则a1+a2+a11的值 为 ( ) A.0 B.-5 C.5 D.255 【解析】选C.令x=2得a0=-5,令x=3得a0+a1+a2+a11=0, 所以a1+a2+a11=-a0=5.,2.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn,若a1+a2+a3+ an=63,则展开式中系数最大的项是 ( ) A.15x2 B.20x3 C.21x3 D.35x3,【解析】选B.在(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn中, 令x=1可得a0+a1+a2+a3+an=2n;令x=0可得a0=1.依题 意得:2n-1=63,解得:n=6,所以展开式中系数最大的项 为 x3=20x3.,3.若(2x+3)3=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a3(x+2)3,则a0+a1+2a2+3a3= .,【解析】令x=-2得a0=-1. 令x=0得27=a0+2a1+4a2+8a3. 因此a1+2a2+4a3=14. 因为 所以a3=8. 所以a1+2a2+3a3=14-a3=6. 所以a0+a1+2a2+3a3=-1+6=5. 答案:5,考向三 展开式中的特定项或项的系数的确定与应用 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:二项展开式中的特定项或项的系数问题 【典例3】(2015重庆高考) 的展开式中 x8的系数是 (用数字作答). (本题源自A版选修2-3P40A组T8(2),【解题导引】展开式中x8为第3项,直接利用通项公式 展开即可求出x8的系数. 【规范解答】由二项式定理可知 所以展开式中x8的系数是 . 答案:,命题方向2:多项式展开式中的特定项或项的系数问题 【典例4】(2015全国卷)(x2+x+y)5的展开式中, x5y2的系数为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.60 【解题导引】先将三项式变形为二项式,再用通项公式 求解.,【规范解答】选C.(x2+x+y)5=(x2+x)+y5, 令y2的项为T3= (x2+x)3y2, 其中(x2+x)3中含x5的项为 所以x5y2的系数为 =30.,【一题多解】解答本题,还有以下解法: 选C.(利用组合知识求解)在(x2+x+y)5的5个因式中, 2个取因式中x2,剩余的3个因式中1个取x,其余因式 取y,故x5y2的系数为 =30.,【技法感悟】 1.求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将Tk+1项写出并化简. (2)令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零; 求有理项时,指数为整数等),解出k. (3)代回通项得所求.,2.求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法 (1)对于三项式问题,一般先变形化为二项式,再用通项 公式求解,或用组合知识求解. (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般 对某个因式用通项公式,再结合与其他因式相乘情况求 解特定项,或根据因式连乘的规律,结合组合知识求解, 但要注意适当地运用分类思想,以免重复或遗漏.,(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题,只需 依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项,再求和 即可.,【题组通关】 1.(2016洛阳模拟) 的展开式中的 常数项为 ( ) A.32 B.34 C.36 D.38,【解析】选D. 的展开式的通项为 Tk+1= 令12-4k=0,解得k=3, 的展开式的通项为Tr+1 令8-2r=0,得r=4, 所以所求常数项为,2.(2016重庆模拟) 的展开式的常数 项是 . 【解析】 故它的展开式的常数项 为 -2=3. 答案:3,3.(2016太原模拟)二项式 的展开式中x的 系数为10,则实数m等于 .(用数字填写答案) 【解析】由题意得: 所以5-2r=1, 解得r=2,m=1. 答案:1,4.(2016南昌模拟) 展开式中的常数项 为 . 【解析】 由二项式定理知(x-1)8 的通项为Tr+1= 令r=4得T5= 故 展开式中的常数项为70. 答案:70,
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