2019-2020年高三下学期5月月考 数学文.doc

2019-2020年高三下学期5月月考 数学文一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数的共轭复数为，若（为虚数单位），则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】依题意，设z=a+bi(a,b鈭圧)，则，故2a+bi=5-2i1-22i=1+2i，故a=12,b=2，则在复平面内，复数z所对应的点为(12,2)，位于第一象限.选A.2. 已知集合，则（ ）A B C D【答案】C【解析】,显然，所以.故选C.3.下列命题正确的个数是（ ）命题“”的否定是“”；函数的最小正周期为是“”的必要不充分条件；在上恒成立在上恒成立；“平面向量与的夹角是钝角” 的充分必要条件是“”.A B C. D【答案】B4.九章算术是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（ ）A B C. D【答案】A【解析】起始阶段有m=2a-3,i=1，第一次循环后，m=2(2a-3)-3=4a-9,i=2；第二次循环后，m=2(4a-9)-3=8a-21,i=3；第三次循环后，m=2(8a-21)-3=16a-45,i=4；接着计算m=2(16a-45)-3=32a-93，跳出循环，输出m=32a-93，令32a-93=35，得a=4.选A.5.已知公差不为0的等差数列an满足a1,a3,a4成等比数列,Sn为数列an的前n项和,则的值为()A.-2B.-3C.2D.35.C解析 设等差数列an的首项为a1,公差为d(d0),因为a1,a3,a4成等比数列, 所以a1a4=a32,即a1=-4d,所以=2.6.如图，小正方形的边长为，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积可能为（ ）A B C. D【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体所表示的几何图形为三棱锥A-BCD，作出该几何体的直观图如图所示，取AC的中点E，连接BE；可以证明BE平面ACD，故三棱锥A-BCD的体积.选B.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解7如图，在直角梯形中， ， ， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动若，其中，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：以点为坐标原点，方向为轴，轴正方向建立直角坐标系，如图所示，设点的坐标为，由意可知：，据此可得：，则：，目标函数：，其中为直线系的截距，当直线与圆相切时，目标函数取得最大值.当直线过点时，目标函数取得最小值，则的取值范围是.本题选择B选项. 8.设定义在R上的奇函数y=f(x),满足对任意tR都有f(t)=f(1-t),且x0,12时,f(x)=-x2,则f(3)+f的值等于()A.-12B.-13C.-14D.-158.C解析 由题意,f(3)=f(-2)=-f(2)=-f(-1)=f(1)=f(0)=0,f=-f32=-f=f12=-14, 所以f(3)+f=0-14=-14.9.xx“元旦”期间,成都某游乐园举行免费游园活动,免费开放一天,早晨6时30分有2人进入游乐园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来按照这种规律进行下去,到上午11点30分时园内的人数是()A.212-57B.211-47C.210-38D.29-309.A解析 设每个30分钟进去的人数构成数列an,则a1=2=2-0,a2=4-1,a3=8-2,a4=16-3,a5=32-4,an=2n-(n-1). 设数列an的前n项和为Sn,依题意,只需求S11,所以S11=(2-0)+(22-1)+(23-2)+(211-10)=(2+22+23+211)-(1+2+10)=212-2-55=212-57,故选A.10.若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为22,则直线l的斜率的取值范围是()A.12-3,1B.C.D.10,+)10.B解析 圆的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心为(2,2),半径为32,由圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为22,则圆心到直线l:ax+by=0的距离d32-22=2,即,则a2+b2+4ab0,若b=0,则a=0,故不成立, 故b0,则上式可化为1+ab2+40,由直线l的斜率k=-ab,可知上式可化为k2-4k+10,解得2-k2+3, 即k的取值范围为12-3,2+3.故选B.11若存在，使得关于的方程成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，（ ），令，（ ），则， ，当时， ，当时， ，解得或，故选C. 12. 已知是定义在上的函数，且满足；曲线关于点对称；当时，若在上有5个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)(文)13.已知F1,F2为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右两个焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=13,则E的离心率为.13.2解析 因为MF1垂直于x轴,所以|MF1|=b2a,|MF2|=2a+因为sinMF2F1=13,所以,化简得b=a, 故双曲线的离心率e=1+b2a2=2.（理）13.已知a=sin xdx,则二项式的展开式中x-3的系数为.13.-160解析 由题意,得a=-(cos -cos 0)=2,所以二项式为,其展开式的通项为Tr+1=,所以r=3,展开式中x-3的系数为C63(-2)3=-160.14.已知，则的取值范围为 【答案】-2,-1)【解析】由题意得(x-y)2+3y2=1 ，令 ，则 ，且 ，所以，即.15.在正三棱锥V-ABC内,有一个半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的三个侧面都相切,若半球的半径为2,则正三棱锥的体积最小时,其底面边长为.15.62解析 设ABC的中心为O,取AB中点D,连接OD,VD,VO,设OD=a,VO=h, 则VD=OD2+VO2=a2+h2.AB=2AD=23a. 过O作OEVD,则OE=2, SVOD=12ODVO=12VDOE,ah=2a2+h2,整理得a=4h2h2-4(h2).V(h)=13SABCh=(23)2a2h=3a2h=V(h)=4=4 令V(h)=0,得h2-12=0,解得h=23.当2h23时,V(h)23时,V(h)0,当h=23,即a=6,也就是AB=63a=62时,V(h)取得最小值.16.已知是定义在上的函数，是的导函数，给出如下四个结论：若，且，则函数有极小值0；若，则，；若，则；若，且，则不等式的解集为.所有正确结论的序号是 三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知满足，若其图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数（1）求的解析式；（2）在锐角中，角的对边分别为，且满足，求的取值范围【答案】（1）f(x)=sin(2x-蟺3);（2）(0,1.【解析】试题分析：（1）由条件f(x+蟺2)=-f(x)得周期，由周期求；由图像变换的函数为奇函数得的等量关系，由，解出；（2）由正弦定理将边角关系(2c-a)cosB=bcosA转化为角的关系，解出B；由锐角条件解出A取值范围；根据f(A)函数关系式，结合正弦函数性质确定f(A)的取值范围试题解析：（1）f(x+蟺2)=-f(x)，T=蟺，蠅=2，则f(x)的图象向左平移蟺6个单位后得到的函数为，而g(x)为奇函数，则有，而，则有，从而f(x)=sin(2x-蟺3).（文）18.（本小题满分12分）下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为，乙代表队数据的平均数是.（1）求，的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取名成绩不低于分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）.【答案】（1），（2）（3）甲队成绩较为稳定，理由略；18.(本小题满分12分)为了引导居民合理用水,某市决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如下表:阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围(单位:立方米)(0,10(10,15(15,+)从本市随机抽取了10户家庭,统计了同一个月的用水量,得到右边的茎叶图:(1)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯水量的户数的分布列和均值;(2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况,从全市依次随机抽取10户,若抽到n户月用水量为第二阶梯水量的可能性最大,求出n的值.18.解 (1)由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户,二阶的有6户,三阶的有2户.第二阶梯水量的户数X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C43路C60C103=130,P(X=1)=C42路C61C103=310,P(X=2)=C41路C62C103=12,P(X=3)=C40路C63C103=16.所以X的分布列为X0123P1303101216所以E(X)=0+1+2+3(2)设Y为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数,依题意得YB,所以P(Y=k)=,其中k=0,1,2,10,设t=,若t1,则k6.6,P(Y=k-1)P(Y=k);若t6.6,P(Y=k-1)P(Y=k).所以当k=6或7时,P(Y=k)可能最大.因为1,所以n的取值为6.(文)19. 如图，在梯形中，平面平面，四边形是矩形，点在线段上，且（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值【答案】（1）见解析;（2）104.【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般方法为利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找往往利用平几知识，如本题设AC与BD交于点N，利用三角形相似可得AN=2CN,再根据平行四边形性质可得AMFN,（2）求线面角，关键在找平面BEF的垂线，由,可得：平面BCF，即平面BCF,平面BCF,因此过点C作BF的垂线交BF于点H，则由面面垂直性质定理可得平面BEF.又AC/EF，所以点A到平面BEF的距离等于点C到平面BEF的距离，最后根据直角三角形求线面角.（2）由题知：AC/EF，点A到平面BEF的距离等于点C到平面BEF的距离，过点C作BF的垂线交BF于点H，平面BCF，即平面BCF，又，平面BEF.在中，CH=22a，在中，AM=AE2+EM2=233a，直线AM与平面BEF所成角的正弦值为CHAM=64，即直线AM与平面BEF所成角的余弦值为104.1（理）19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥A-EFCB中,AEF为等边三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC=FCB=60,O为EF的中点.(1)求证:AOBE:(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE平面AOC,求a的值.19.(1)证明 由AEF为等边三角形,O为EF的中点,可得AOEF.因为平面AEF平面EFCB,且平面AEF平面EFCB=EF,所以AO平面EFCB. 又BE平面EFCB,所以AOBE.(2)解 取CB的中点D,连接OD,以O为原点,分别以OE,OD,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,易知A(0,0,3a),E(a,0,0),B(2,23-3a,0),则=(a,0,-3a),=(2-a,23-3a,0),由平面AEF与y轴垂直,可设平面AEF的法向量为n1=(0,1,0).设平面AEB的法向量n2=(x,y,1),由n2,可得ax-3a=0,解得x=3;由n2,可得(2-a)x+(23-3a)y=0,解得y=-1,所以n2=(3,-1,1). 所以cos=-55,由二面角F-AE-B为钝二面角,所以二面角F-AE-B的余弦值为-55.(3)解 由(1)知AO平面EFCB,则AOBE,若BE平面AOC,只需BEOC,=(2-a,23-3a,0),又=(-2,23-3a,0),=-2(2-a)+(23-3a)2=0,解得a=2或a=43, 由题意易知ab0),过椭圆的上顶点与右顶点的直线l,与圆x2+y2=127相切,且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合.(1)求椭圆C的方程;(2)过点O作两条相互垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点,求OAB面积的最小值.20.解 (1)过椭圆的上顶点与右顶点的直线l为xa+yb=1,直线与x2+y2=127相切,满足,且a2-b2=1,整理可得7a4-31a2+12=0,(7a2-3)(a2-4)=0,a2=4,a2=37(舍去),故b2=3, 所求的椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当两线分别与坐标轴重合时,SOAB=2当两线不与坐标轴重合时,由于OAOB,设直线OA为y=kx,则直线OB为y=-1kx,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线OA的方程为y=kx,与椭圆x24+y23=1联立消去y,得x12=123+4k2,y12=12k23+4k2, 用-1k代换k得x22=123+4k2=12k23k2+4,y22=12k23+4k2=123k2+4, S2=14|OA|2|OB|2=14(x12+y12)(x22+y22)= =,当且仅当k=1时取等号,又1273,综合可得三角形的最小面积为SOAB=127.20. (本小题满分12分)已知动圆过定点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率不为零的直线交曲线于， 两点，在轴上是否存在定点，使得直线的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（）（）当定点为时，常数为；当定点为时，常数为 （）依题意可设直线的方程为， ， ，由得，所以则，假设存在定点，使得直线， 的斜率之积为非零常数，则 ，所以 ，要使为非零常数，当且仅当解得，当时，常数为，当时，常数为，所以存在两个定点和，使直线， 的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为（文）21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xln x-a2x2-x+a(aR)在定义域内有两个不同的极值点.(1)求实数a的取值范围;(2)记两个极值点为x1,x2,且x10,若不等式x1x2位e1+恒成立,求的取值范围.21.解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+).由题意知,方程f(x)=0在(0,+)内有两个不同根,即方程ln x-ax=0在(0,+)内有两个不同根.转化为函数y=ln x与函数y=ax的图象在(0,+)上有两个不同交点,如图.可见,若令过原点且切于函数y=ln x图象的直线斜率为k,只需0ak.令切点A(x0,ln x0),故k=y,又k=,故, 解得x0=e,故k=1e,故0a1e.(2)因为e1+x1等价于1+ln x1+ln x2.由(1)可知x1,x2分别是方程ln x-ax=0的两个根,即ln x1=ax1,ln x2=ax2,所以原式等价于1+0,0x1又由ln x1=ax1,ln x2=ax2作差得,lnx1x2=a(x1-x2),即a=所以原式等价于,因为0x1x2,原式恒成立, 即ln恒成立.令t=x1x2,t(0,1), 则不等式ln t0,所以h(t)在t(0,1)上单调递增,又h(1)=0,所以h(t)0在t(0,1)恒成立,符合题意.当20,t(2,1)时,h(t)0,所以h(t)在t(0,2)时单调递增,在t(2,1)时单调递减,又h(1)=0,所以h(t)在t(0,1)上不能恒小于0,不符合题意,舍去.综上所述,若不等式e1+0,所以1.21. (本小题满分12分)已知，其中.（）若，且曲线在处的切线过原点，求直线的方程；（）求的极值；（）若函数有两个极值点， ，证明.【答案】（）;（）当时，在时取到极小值，没有极大值；当时，在时取到极大值，在时取到极小值；当时，没有极大值也没有极小值；当时，在时取到极小值.在时取到极大值.试卷解析：（）当时，所以切线的斜率，又直线过原点，所以，由得，.所以，故切线的方程为，即.（）由 ，可得，当时 ， ，在上单调递增，在(0,1)上单调递减，在时取到极小值，且，没有极大值；当时 或， .在，上单调递增，在上单调递减，在时取到极大值，且，在时取到极小值，且；当时恒成立，在上单调递增，没有极大值也没有极小值；当时 或， ，在(0,1)，上单调递增，在上单调递减，在时取到极小值，且.在时取到极大值，且.综上可得，当时，在时取到极小值，没有极大值；当时，在时取到极大值，在时取到极小值；当时，没有极大值也没有极小值；当时，在时取到极小值.在时取到极大值.点睛：本题考查导数的运用，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程，求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:x+y=4,曲线C2:(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)若射线l:=(0)分别交C1,C2于A,B两点,求的最大值.22.解 (1)C1:(cos +sin )=4,C2的普通方程为(x-1)2+y2=1,所以=2cos .(2)设A(1,),B(2,),-,则1=,2=2cos , 2cos (cos +sin )=14(cos 2+sin 2+1)=,当=时,取得最大值14(2+1).23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知|x1-2|1,|x2-2|1.(1)求证:2x1+x26,|x1-x2|2;(2)若f(x)=x2-x+1,求证:|x1-x2|f(x1)-f(x2)|5|x1-x2|.23.证明 (1)|x1-2|1,-1x1-21,即1x13,同理1x23,2x1+x26.|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|x1-2|+|x2-2|,|x1-x2|2.(2)|f(x1)-f(x2)|=|x12-x22-x1+x2|=|x1-x2|x1+x2-1|,2x1+x26,1x1+x2-15, |x1-x2|f(x1)-f(x2)|5|x1-x2|.