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2.2.1 综合法和分析法,第二章 2.2 直接证明与间接证明,1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法. 2.了解分析法和综合法的思维过程和特点. 3.会用分析法、综合法证明实际问题.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 综合法,答案,已知条件,1.定义 一般地，利用 和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的 成立，这种证明方法叫做 . 2.基本模式 综合法的证明过程如下：,结论,综合法,答案,即用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图可表示为：,3.综合法的证明格式 因为，所以，所以，所以成立.,思考 综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？,答案 演绎推理.,知识点二 分析法,答案,1.分析法 一般地，从要证明的 出发，逐步寻求使它成立的 条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法. 2.基本模式 用Q表示要证明的结论，P表示条件，则分析法可用框图表示为：,结论,充分,3.分析法的证明格式 要证，只需证，只需证，因为成立，所以成立. 思考 分析法与综合法有哪些异同点？,答案 相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命题成立的证明方法直接证明法. 不同点：证法1，由因导果，使用综合法； 证法2，执果索因，使用分析法.,返回,答案,题型探究 重点突破,题型一 综合法的应用,解析答案,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,证明 方法一 a，b是正数，且ab1，,方法二 a，b是正数，,反思与感悟,当且仅当ab时，取“”号.,反思与感悟,利用综合法证明问题的步骤： (1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法. (2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路. (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.,跟踪训练1 已知a，b，cR，且它们互不相等，求证a4b4c4a2b2b2c2c2a2.,证明 a4b42a2b2，b4c42b2c2，a4c42a2c2， 2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)， 即a4b4c4a2b2b2c2c2a2. 又a，b，c互不相等. a4b4c4a2b2b2c2c2a2.,解析答案,题型二 分析法的应用,解析答案,反思与感悟,只需证a25aa25a6， 只需证06. 因为06恒成立，,反思与感悟,分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件. 利用分析法证明时，要求一般格式要规范，其关键词“要证”“只需证”等不能漏掉，这是用分析法证题易忽视的地方.,反思与感悟,解析答案,解析答案,证明 方法一(分析法),又a，b，c是不全相等的正数，,方法二(综合法) a，b，cR，,又a，b，c是不全相等的正数，,(*)式等号不成立，原不等式成立.,题型三 综合法和分析法的综合应用,解析答案,反思与感悟,例3 已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.,解析答案,反思与感悟,又a，b，c是不全相等的正数，,反思与感悟,综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 设a，b，c为任意三角形的三边长，Iabc，Sabbcca，试证明：3SI24S.,解析答案,证明 Iabc，Sabbcca， I 2(abc)2a2b2c22(abbcac)a2b2c22S. 于是，要证3SI 24S, 即证3Sa2b2c22S4S，即证Sa2b2c22S. (1)要证Sa2b2c2， 即证a2b2c2abbcca0， 即证(a2b22ab)(b2c22bc)(a2c22ca)0， 即证(ab)2(bc)2(ac)20. (ab)20，(bc)20，(ac)20， (ab)2(bc)2(ac)20，Sa2b2c2成立.,(2)要证a2b2c22S， 即证a2b2c22ab2bc2ac0， 即证(a2abac)(b2abbc)(c2acbc)0， 即证aa(bc)bb(ac)cc(ab)0. a，b，c为任意三角形的三边长， a0，b0，c0，且abc，acb，bca， aa(bc)0，bb(ac)0，cc(ab)0， aa(bc)bb(ac)cc(ab)0， a2b2c22S成立. 综合(1)(2)可知，Sa2b2c22S成立，于是3SI 24S成立.,解析答案,因误用证明依据而出错,防范措施,返回,易错易混,解析答案,防范措施,防范措施,正解 因为a2b2b2c22ab2c，b2c2c2a22abc2，c2a2a2b22a2bc， 把以上三式相加，并化简得a2b2b2c2c2a2abc(abc). 两边同除以正数abc，,防范措施,在利用分析法或综合法证明问题时，要严格依据有关定理、性质、公理、法则进行证明.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件,A,答案,1,2,3,4,5,解析 函数f(x)的定义域为x|1x1，且f(x)f(x)， 函数f(x)为奇函数， f(a)f(a)b.,B,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,a0，b0且ab,1,2,3,4,5,解析答案,(0,16,ab的最小值为16， 要使ab恒成立，需16， 016.,1,2,3,4,5,解析答案,所以左边log1952log1933log192 log195log1932log1923 log19(53223) log19360. 因为log19360log193612，,课堂小结,1.综合法： (1)用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，利于表达推理的思维轨迹. (2)综合法证明问题的步骤：第一步，分析条件，选择方向；第二步，转化条件，组织过程；第三步，回顾反思，适当调整. 2.分析法：所证结论较为复杂或不好直接从条件证明时，我们往往采用分析法证明问题，其关键是对结论进行等价变形，不等价无意义，也找不到成立的条件.,返回,3.分析综合法：有时解题需要一边分析，一边综合，称之为分析综合法，它表明分析与综合相互联系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又进一步成为分析的起点.运用综合法与分析法联合解题时， 一方面要特别注意“分析”那部分的叙述，不能与综合混为一谈，也就是说要注意它们之间的区别； 另一方面，要习惯用分析法探求解题的途径，再用综合法完成命题的证明.,
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