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第一章,统计案例,学习目标,1.进一步体会回归分析的基本思想. 2.通过非线性回归分析,判断几种不同模型的拟合程度.,1 回归分析 1.3 可线性化的回归分析,1,知识梳理 自主学习,2,题型探究 重点突破,3,当堂检测 自查自纠,对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型.,知识点一 非线性回归分析,思考 有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？ 答 首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型.,ucbv,知识点二 非线性回归方程,ucbx,ucbv,uabv,思考 如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？ 答 可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程.,例1 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：,题型一 线性回归分析,(1)由数据易知y与x具有线性相关关系,若b9.4,求线性回归方程yabx；,回归直线方程为y9.19.4x.,(2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额. 解 当x4时,y9.19.4446.7, 故广告费用为6万元时销售额为46.7万元.,跟踪训练1 为了研究3月下旬的平均气温(x)与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日(y)的关系,某地区观察了2006年到2011年的情况,得到了下面的数据：,(1)对变量x,y进行相关性检验； 解 制表.,故变量y和x存在很强的线性相关关系.,(2)据气象预测,该地区在2012年3月下旬平均气温为27 ,试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天.,例2 在一化学反应过程中,化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关,现收集了8组观测数据列于表中：,题型二 可线性化的回归分析,解 根据收集的数据,作散点图(如图),根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲数yc1ec2x的周围,其中c1和c2是待定的参数.令zln y,则zln yln c1c2x, 即变换后的样本点应该分布在直线zabx(aln c1,bc2)的周围.,由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：,作出z与x的散点图(如图).,由散点图可观察到,变换后的样本点分布在一条直线的附近,所以可用线性回归方程来拟合. 由z与x的数据表,可得线性回归方程： z0.8480.81x, 所以y与x之间的非线性回归方程为 ye0.8480.81x.,反思与感悟 可线性化的回归分析问题,画出已知数据的散点图,选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换,作出变换后样本点的散点图,用线性回归模型拟合.,跟踪训练2 电容器充电后,电压达到100 V,然后开始放电,由经验知道,此后电压U随时间t变化的规律用公式UAebt(b0)表示,现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：,试求：电压U对时间t的回归方程.(提示：对公式两边取自然对数,把问题转化为线性回归分析问题),解 对UAebt两边取对数得ln Uln Abt,令yln U,aln A,xt,则yabx,得y与x的数据如下表：,由yln U,得Uey,Ue4.610.313xe4.16e0.313x,因此电压U对时间t的回归方程为Ue4.61e0.313x.,题型三 非线性回归模型的综合应用,例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：,试建立y与x之间的回归方程.,解 根据题干表中数据画出散点图如图所示.,由图看出,样本点分布在某条指数函数曲线yc1ec2x的周围,于是令zln y.,画出散点图如图所示.,由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：z0.6630.020x,则有ye0.6630.020x.,反思与感悟 根据已有的函数知识,可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线yc1ec2x的周围,其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换,转化为线性相关关系.,跟踪训练3 在试验中得到变量y与x的数据如下表： 试求y与x之间的回归方程,并预测x40时,y的值.,解 作散点图如图所示,从散点图可以看出,两个变量x,y不呈线性相关关系,根据学过的函数知识,样本点分布的曲线符合指数型函数yc1ec2x,通过对数变化把指数关系变为线性关系,令zln y,则zbxa(aln c1,bc2). 列表：,作散点图如图所示,从散点图可以看出,两个变量x,z呈很强的线性相关关系.由表中的数据得到线性回归方程为：z0.277x3.998. 所以y关于x的指数回归方程为：ye0.277x3.998. 所以,当x40时,ye0.277403.9981 190.347.,A,1,2,3,4,1,2,3,4,2.某种产品的广告费支出与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：,则广告费与销售额间的相关系数为( ),A.0.819 B.0.919 C.0.923 D.0.95,B,3.根据统计资料,我国能源生产发展迅速.下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：,1,2,3,4,根据有关专家预测,到2020年我国能源生产总量将达到27.6亿吨左右,则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种( ),A.yaxb(a0) B.yax2bxc(a0) C.yax(a0且a1) D.ylogax(a0且a1) 答案 A,1,2,3,4,1,2,3,4,4.某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系,现在知道其中一个数据弄错了,则最可能错的数据是_.,(6,50),
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