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专题一,专题二,等差数列与等比数列的综合应用 1.证明等差数列、等比数列 例1已知数列an是等比数列,Sn是其前n项的和,a1,a7,a4成等差数列,求证:2S3,S6,S12-S6成等比数列. 思路分析:由已知条件求出公比q,然后算出2S3,S6,S12-S6,再利用定义证明它们成等比数列. 证明:设等比数列an的公比为q, a1,a7,a4成等差数列, a1+a4=2a7,即a1(1+q3)=2a1q6. a10,2q6-q3-1=0.,专题一,专题二,专题一,专题二,(1)求数列an的通项公式; (2)求证:数列bn是等比数列; (3)若cn=anbn,求证:cn+1cn. (1)解:由已知点An在y2-x2=1上,知an+1-an=1, 则数列an是一个以2为首项,以1为公差的等差数列. 即an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.,专题一,专题二,专题一,专题二,专题一,专题二,2.等差(比)数列综合题 例2已知an是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列. (1)求q的值; (2)设bn是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由. 思路分析:要比较大小,可作差,然后看差大于0?等于0?小于0?,专题一,专题二,规纳总结对于等差(比)数列综合题,应在熟悉基础知识、基本题型和基本方法的前提下加强训练,逐步提高自己综合应用知识的能力,发展自己的分析问题和解决问题的能力.,专题一,专题二,迁移训练2等差数列an的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是 . 答案:100 解析:设数列an的公差为d,前n项和为Sn, a2是a1和a5的等比中项, (1+d)2=1(1+4d).d0,解得:d=2. 又a1=1,S10=100.,专题一,专题二,专题一,专题二,例3数列an的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n1). (1)求数列an的通项公式; (2)等差数列bn的前n项和Tn有最大值,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn. 思路分析:(1)已知Sn求an,必须分类讨论; (2)“等差数列bn的前n项和Tn有最大值”的条件为公差d0. 解:(1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n2), 两式相减得an+1-an=2an,an+1=3an(n2), 又a2=2S1+1=3,a2=3a1. 故an是首项为1,公比为3的等比数列. 即an=3n-1.,专题一,专题二,(2)设bn的公差为d, 由T3=15得b1+b2+b3=15,于是b2=5, 故可设b1=5-d,b3=5+d. 又a1=1,a2=3,a3=9, 由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2, 解得:d1=2,d2=-10, 等差数列bn的前n项和Tn有最大值, d0.从而d=-10,b1=15.,专题一,专题二,专题一,专题二,专题一,专题二,3.应用题 例4沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召,对西部地区乙企业进行扶持技术改造,乙企业的经营现状是每月收入为45万元,但因设备老化,从下个月开始需支付设备维修费,第一个月为3万元,以后逐月递增2万元.甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业,据测算,改造后乙企业第一个月收入为16万元,在以后的4个月中,每月收入都比上个月增长50%,而后各月收入都稳定在第5个月水平上,若设备改造时间可忽略不计,那么从下个月开始至少经过多少个月,改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益?,专题一,专题二,专题一,专题二,n5时,Bn-An=(81n-594)-(43n-n2)=n2+38n-594. 令n2+38n-5940,即(n+19)2955. 从而n+1930.9,n11.9. nN*,n12. 故至少经过12个月,改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总效益.,专题一,专题二,迁移训练5某企业自2013年1月1日正式投产,环保监测部门从该企业投产之日起对它向某湖区排放污水进行了4个月的跟踪检测,检测的数据如下表.并预测,如果不加以治理,该企业每月向湖区排放污水的量将成等比数列.,(1)如果不加以治理,求从2013年1月起,m个月后,该企业总计向某湖区排放了多少立方米的污水? (2)为保护环境,当地政府和企业决定从7月份开始投资安装污水处理设备,预计7月份的污水排放量比6月份减少4万立方米,以后每月的污水排放量均比上月减少4万立方米,当企业停止排放污水后,再以每月16万立方米的速度处理湖区中的污水,请问什么时候可以使湖区中的污水不多于50万立方米?,专题一,专题二,专题一,专题二,专题一,专题二,数列求和 一般数列的求和问题的常用方法有: (1)转化为等差(比)数列:数列求和最常用的方法. (2)分项求和法:这也是转化变形的一个重要手段. (3)错位相减法:若an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和. (4)裂项相消法:主要应用于通项公式是分式的数列. (5)倒序求和法:主要应用于由函数构造的数列. (6)利用已知求和公式:,专题一,专题二,下面,对其中常用的三种方法举例说明: 1.分项求和法 例5将n2个数排成n行n列的一个数阵: a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n a31 a32 a33 a3n an1 an2 an3 ann 已知a11=2,a13=a61+1,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,其中m为正实数. (1)求第i行第j列的数aij; (2)求这n2个数的和.,专题一,专题二,规纳总结数阵、数表是数列的推广,解决数阵问题的方法是把数阵看成很多个数列,主要是看成等差数列或等比数列.,专题一,专题二,迁移训练6求和12-22+32-42+52-62+992-1002. 解:Sn=(12-22)+(32-42)+(52-62)+(992-1002) =-(1+2)+(3+4)+(5+6)+(99+100),迁移训练7等比数列an的首项为a,公比为q,Sn为前n项和,求S1+S2+Sn. 解:当q1时,专题一,专题二,专题一,专题二,特别提示:应用等比数列求和公式时,必须注意公比q与1的关系,错位相减时,式的首项和式的最后一项要特别注意.,专题一,专题二,专题一,专题二,专题一,专题二,3.裂项相消法 例7已知等差数列an的首项a1=1,公差d0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. (1)求数列an的通项公式;,解:(1)由题意,得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2, 整理,得2a1d=d2. a1=1,解得:d=2(d=0舍去). an=2n-1(nN*).,专题一,专题二,专题一,专题二,拓展延伸对于分式数列的求和要优先想到裂项相消法,裂项可考虑一般项ai,先把ai裂成两项的差,然后i依次取1,2,3,n.,专题一,专题二,迁移训练9已知数列an满足a1=1,对任意nN*,有a1+3a2+5a3+(2n-1)an=pn(p为常数). (1)求p的值及数列an的通项公式; (2)令bn=anan+1(nN*),求数列bn的前n项和Sn. 解:(1)令n=1,得a1=p1,又a1=1, p=1. a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an=n(nN*), 当n2时,a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1=n-1. 以上两式相减,得(2n-1)an=1,专题一,专题二,
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