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第2节 直线与圆的位置关系,知识链条完善,考点专项突破,解题规范夯实,知识链条完善 把散落的知识连起来,知识梳理,1.圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理 (1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 的一半. (2)圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的 . 推论1:同弧或等弧所对的 相等;同圆或等圆中,相等的 所对的弧也相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是 ;90的圆周角所对的弦是 . (3)弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 .,圆心角,度数,圆周角,圆周角,直角,直径,圆周角,2.圆内接四边形的判定定理和性质定理,互补,内角的对角,对角,互补,3.圆的切线,外端,垂直于,垂直于,切点,圆心,4.与圆有关的比例线段,比例中项,积,积,切线长,夯基自测,1.给出下列命题: 圆心角等于圆周角的2倍; 相等的圆周角所对的弧也相等; 等腰梯形一定有外接圆; 弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数; 在圆内接四边形ABCD中,ABCD=mnpq,则有m+p=n+q. 其中错误的是( ) (A) (B) (C) (D),B,解析:错误,若弧不一样,则圆心角与圆周角的关系不确定;错误,只有在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧才相等;正确,可以推出等腰梯形的对角互补,所以有外接圆;错误,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角,所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数,所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的2倍;正确,圆内接四边形ABCD的对角互补.,A,C,4.(2015高考重庆卷)如图,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6,AE=9,PC=3,CEED=21,则BE= .,答案:2,5.(2015高考广东卷)如图,已知AB是圆O的直径, AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O 作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD = .,答案:8,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题,【例1】 (2015高考新课标全国卷)如图,AB是O的直径,AC是O的切线,BC交O于点E. (1)若D为AC的中点,证明:DE是O的切线;,反思归纳 (1)证明直线是圆的切线可运用切线的判定定理. (2)涉及圆的切线问题时常常利用弦切角定理实现弦切角与圆周角的相互转化,利用圆周角、圆心角定理及其推论实现圆周角、圆心角及所对弧的度数之间的相互转化.,【即时训练】 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D. (1)证明:DB=DC;,(1)证明:连接DE,交BC于点G. 由弦切角定理得ABE=BCE. 而ABE=CBE, 故CBE=BCE, 所以BE=CE. 又DBBE, 所以DE为直径, 则DCE=90, 由勾股定理可得DB=DC.,考点二,四点共圆问题,【例2】 如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAE=DCAF,B、E、F、C四点共圆. (1)证明:CA是ABC外接圆的直径;,(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.,反思归纳 圆内接四边形的性质定理是圆中探求角的相等或互补关系的常用定理,使用时要注意观察图形,要弄清四边形的外角和它的内对角的位置,其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据,解题时要注意相关角的定理的灵活应用.,【即时训练】 (2015高考湖南卷)如图,在O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F.证明: (1)MEN+NOM=180;,证明:(1)因为M,N分别是弦AB,CD的中点, 所以OMAB,ONCD, 即OME=90,ENO=90, 因此OME+ENO=180. 又四边形的内角和等于360, 故MEN+NOM=180.,(2)FEFN=FMFO.,证明:(2)由(1)知O,M,E,N四点共圆, 故由割线定理即得FEFN=FMFO.,与圆有关的比例线段,考点三,【例3】 (2014高考新课标全国卷)如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明: (1)BE=EC;,(2)ADDE=2PB2.,证明:(2)由切割线定理得PA2=PBPC, 因为PA=PD=DC, 所以DC=2PB,BD=PB, 由相交弦定理得ADDE=BDDC, 所以ADDE=2PB2.,反思归纳 证明与圆有关的比例线段,常用到三角形相似、相交弦定理、割线定理以及切割线定理等,同时要注意圆的有关性质,直角三角形中的射影定理、角平分线的性质的灵活运用.,【即时训练】 (2016贵阳一测)AB是O的一条切线,切点为B,过O外一点C作直线CE交O于G,E,连接AE交O于D,连接CD交O于F,连接AC,FG,已知AC=AB. (1)证明:ADAE=AC2;,证明:(1)因为AB是O的一条切线,AE为割线, 所以AB2=ADAE, 又因为AB=AC, 所以AC2=ADAE.,(2)证明:FGAC.,备选例题,【例1】 (2016赤峰模拟)如图所示,圆O的直径为BD,过圆上一点A作圆O的切线AE,过点D作DEAE于点E,延长ED与圆O交于点C. (1)证明:DA平分BDE;,(1)证明:因为AE是O的切线,所以DAE=ABD, 因为BD是O的直径,所以BAD=90, 所以ABD+ADB=90, 又ADE+DAE=90, 所以ADB=ADE.所以DA平分BDE.,(2)若AB=4,AE=2,求CD的长.,(2)求证:BF=FG.,【例3】 (2016乌鲁木齐一诊)过以AB为直径的圆上C点作直线交圆于E点,交AB延长线于D点,过C点作圆的切线交AD于F点,交AE延长线于G点,且GA=GF. (1)求证CA=CD;,证明:(1)因为GF是圆的切线, 所以GCE=GAC, 又因为GCE=DCF, 所以DCF=GAC. 因为GA=GF, 所以GAF=AFG. 又GAF=GAC+CAF,AFG=D+DCF, 所以CAF=D. 所以CA=CD.,(2)设H为AD的中点,求证BHBA=BFBD.,解题规范夯实 把典型问题的解决程序化,与圆有关的比例线段,【典例】(2016保定一模)如图所示,已知O1与O2相交于A,B两点,过点A作O1的切线交O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交O1,O2于点D,E,DE与AC相交于点P. (1)求证:ADEC; (2)若AD是O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.,答题模板:第一步:作辅助线,连接AB. 第二步:由弦切角定理得BAC=D. 第三步:由圆周角定理得BAC=E. 第四步:等量代换得D=E,从而证出ADEC. 第五步:由切割线定理求出PB的长. 第六步:由相交弦定理求出PE的长. 第七步:再由切割线定理求出AD的长.,
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