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考点突破,夯基释疑,考点一,考点三,考点二,例 1,训练1,例 2,训练2,例 3,训练3,第 8 讲 函数与方程,概要,课堂小结,判断正误(在括号内打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点( ) (2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.( ) (3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点( ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值( ),夯基释疑,考点突破,解析 (1)f(x)exx4， f(x)ex10， 函数f(x)在R上单调递增， 对于A项，f(1)e1(1)45e10， f(0)30，f(1)f(0)0，A不正确； 同理可验证B，D不正确， 对于C项，f(1)e14e30， f(2)e224e220，f(1)f(2)0. 故f(x)的零点位于区间(1，2),考点一 函数零点的判断与求解,利用零点存在性定理,考点突破,(2)当x0时，f(x)x23x， 令g(x)x23xx30，得x13，x21. 当x0时，x0，f(x)(x)23(x)， f(x)x23x，f(x)x23x. 令g(x)x23xx30，,考点一 函数零点的判断与求解,转化为求方程g(x)0的根,答案 (1)C (2)D,考点突破,规律方法 (1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反 (2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x)的根，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x)g(x)的根,考点一 函数零点的判断与求解,考点突破,解析 当x1时，由f(x)2x10，解得x0； 当x1时，由f(x)1log2x0，,考点一 函数零点的判断与求解,又因为x1， 所以此时方程无解 综上，函数f(x)的零点只有0. 答案 D,考点突破,考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值,故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e， 则yg(x)m就有零点,可知若使yg(x)m有零点， 则只需m2e.,等号成立的条件是xe，,如图,利用数形结合,考点突破,考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值,f(x)x22exm1(xe)2m1e2. 其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2. 故当m1e22e，即me22e1时， g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根 m的取值范围是(e22e1，),可知若使yg(x)m有零点， 则只需m2e.,(2)若g(x)f(x)0有两个相异实根， 即yg(x)与yf(x)的图象有两个不同的交点，,如图,考点突破,规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用,考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值,考点突破,则有f(1)f(2)0， 所以(a)(41a)0，即a(a3)0. 所以0a3.,考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值,考点突破,考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值,(2)画出函数f(x)的图象如图所示， 观察图象可知， 若方程f(x)a0有三个不同的实数根， 则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点， 此时需满足0a1，故选D 答案 (1)C (2)D,考点突破,解 令f(x)0，则(3a2)24(a1),考点三 与二次函数有关的零点问题,【例3】是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1，3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由,9a216a8,若实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可 f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1) 4(1a)(5a1)0，,检验：(1)当f(1)0时，a1， 所以f(x)x2x. 令f(x)0，即x2x0，得x0或x1. 方程在1，3上有两个实数根，不合题意，故a1.,即f(x)0有两个不相等的实数根，,考点突破,方程在1，3上有两个实数根，,【例3】是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1，3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由,考点突破,规律方法 解决与二次函数有关的零点问题： (1)可利用一元二次方程的求根公式； (2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系； (3)利用二次函数的图象列不等式组,考点三 与二次函数有关的零点问题,考点突破,解 法一 设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)， 则(x11)(x21)0， x1x2(x1x2)10， 由根与系数的关系， 得(a2)(a21)10， 即a2a20， 2a1.,【训练3】已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围,考点三 与二次函数有关的零点问题,考点突破,法二 函数图象大致如图， 则有f(1)0， 即1(a21)a20， 2a1. 故实数a的取值范围是(2，1),【训练3】已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围,考点三 与二次函数有关的零点问题,1函数零点的判定常用的方法有： (1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.,2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点,3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题,思想方法,课堂小结,1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标,2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象,易错防范,课堂小结,
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