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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教版 必修2,点、直线、平面之间的位置关系,第二章,2.3 直线、平面垂直的判定及其性质,第二章,2.3.2 平面与平面垂直的判定,1直线与平面垂直的判定方法：定义；判定定理即：ab，ac，b，c，_，则a. 2两平面的位置关系：_ 3角的定义：从平面内一点出发的两条_所成的图形 4线面角的定义：一条直线与它在平面内的_所成的锐角或直角,知识衔接,bcA,平行与相交,射线,射影,5正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与平面AC所成的角等于( ) A30 B45 C60 D90 答案 D,6如右图，ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60，则直线AD平面_；直线BD平面_；直线CD平面_. 答案 BDC ADC ABD,1二面角,自主预习,半平面,半平面,棱,面,棱,角,平面角,直角,l,PlQ,破疑点 二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形；平面角可以把角理解为一个旋转量，二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角定量地反映了两个相交平面的位置关系 知识拓展 (1)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关 (2)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直,2平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直平面与平面垂直，记作_. (2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的_垂直如图所示,直二面角,横边,(3)判定定理,垂线,l,垂直,破疑点 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决,1如图所示的二面角可记为( ) Al BMlN ClMN Dl 答案 B,预习自测,2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABCA1的平面角是( ) AABC BABB1 CABA1 DABC1 答案 C 解析,3.如图所示，已知AB平面BCD，BCCD，则图中互相垂直的平面共有( )对 A1 B2 C3 D4 答案 C,解析 AB平面BCD，且AB平面ABC和AB平面ABD， 平面ABC平面BCD，平面ABD平面BCD AB平面BCD，ABCD 又BCCD，ABBCB，CD平面ABC CD平面ACD，平面ABC平面ACD 故图中互相垂直的平面有平面ABC平面BCD，平面ABD平面BCD，平面ABC平面ACD,4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面ABCD平面BDD1B1. 证明 BB1AB，BB1BC，ABBCB， BB1平面ABCD又BB1平面 BDD1B1， 平面ABCD平面BDD1B1.,如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点证明：平面ABM平面A1B1M. 探究 1证面面垂直关键让线面垂直，找平面的垂线 2平面A1B1M的垂线是谁？,面面垂直的判定,互动探究,规律总结：证明平面与平面垂直的方法 根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法 ，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直,如图所示，已知ABC中，ABC90，P为ABC所在平面外一点，PAPBPC求证：平面PAC平面ABC,分析 设P在平面ABC内射影为O，PAPBPC，OAOBOC，O为RtABC的外心，即AC中点,证明 取AC中点O，连接PO，OB因为AOOC，PAPC，所以POAC因为ABC90，所以OBOA又PBPA，POPO，所以POBPOA，所以POBPOA，即POOB所以PO平面ABC因为PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC,四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAAB (1)求二面角APDC的平面角的度数； (2)求二面角BPAD的平面角的度数； (3)求二面角BPAC的平面角的度数； (4)求二面角BPCD的平面角的度数,求二面角的大小,探究 求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解 解析 (1)因为PA平面ABCD，所以PACD因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD又PAADA， 所以CD平面PAD 又CD平面PCD，所以平面PAD平面PCD 所以二面角APDC的平面角的度数为90.,(2)因为PA平面ABCD，所以ABPA，ADPA所以BAD为二面角BPAD的平面角又由题意知BAD90，所以二面角BPAD的平面角的度数为90. (3)因为PA平面ABCD，所以ABPA，ACPA所以BAC为二面角BPAC的平面角 又四边形ABCD为正方形，所以BAC45. 所以二面角BPAC的平面角的度数为45.,规律总结：1.求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”作平面角时，一定要注意顶点的选择,2作二面角的平面角的方法 方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 如图所示，AOB为二面角a的平面角,方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角 如图所示，AFE为二面角ABCD的平面角,方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角 如图所示，AOB为二面角a的平面角,(1)如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行，则这两个二面角的大小关系是( ) A相等 B互补 C相等或互补 D大小关系不确定 答案 C 解析 可作出这两个二面角的平面角，易知这两个平面角的两边分别平行，故这两个二面角相等或互补,(2)已知RtABC，斜边BC，点A，AO，O为垂足，ABO30，ACO45，求二面角ABCO的大小,解析 如图所示，在平面内，过O作ODBC，垂足为D，连接AD 设OCa，AO，BC， AOBC又AOODO，BC平面AOD 而AD平面AOD， ADBC，ADO是二面角ABCO的平面角 由AO，OB，OC知AOOB，AOOC,如图所示，已知三棱锥PABC，ACB90，CB4，AB20，D为AB的中点，且PDB是正三角形，PAPC (1)求证：平面PAC平面ABC； (2)求二面角DAPC的正弦值； (3)若M为PB的中点，求三棱锥M BCD的体积,线面、面面垂直的综合问题,探索延拓,探究 本题的题设条件有三个：ABC是直角三角形，BCAC；PDB是正三角形；D是AB的中点，PDDB10.解答本题(1)，只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直，对于(2)首先应作出二面角的平面角，然后求其正弦值，解答(3)小题的关键是用等体积法求解,(2013辽宁)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点 (1)求证：平面PAC平面PBC； (2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值,分析 (1)要证面面垂直，只要证明平面PBC内的直线BC垂直于平面PAC；(2)要求二面角CPBA的余弦值，先作出它的平面角，再证明，最后计算 解析 (1)证明：由AB是圆的直径，得ACBC， 由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC 又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC， 所以BC平面PAC 因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC,易错点 不能正确找出二面角的平面角,误区警示,错解 过A在底面ABCD内作AECD于E，连接PE. PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD 又PAAEA，CD平面PAE. 又PE平面PAE，CDPE， PEA为二面角PCDB的平面角 (以下略) 错因分析 点E的位置应首先由已知的数量关系确定，而不是盲目地按三垂线法直接作出在找二面角的平面角时，一般按照先找后作的原则，避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角,如图所示，在ABC中，ABBC，SA平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SAAB，SBBC，求二面角EBDC的大小,解析 SA平面ABC， SAAC，SABC，SAAB，SABD 由已知得SCED，SEEC，SBBC， SCBE，SC平面BED， SCBD 又BDSA，SASCS， BD平面SAC，BDAC，BDDE，,1二面角是指( ) A一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形 B一个半平面与另一个半平面组成的图形 C从一条直线出发的两个半平面组成的图形 D两个相交的平行四边形组成的图形 答案 C,2以下角：异面直线所成角；直线和平面所成角；二面角的平面角，可能为钝角的有( ) A0个 B1个 C2个 D3个 答案 B,3如图，已知PA矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有 ( ) A2对 B3对 C4对 D5对 答案 D 解析 平面PAD和平面AC、平面PAB和平面AC、平面PAD和平面PAB、平面PAD和平面PDC、平面PAB和平面PBC，故选D,4如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于_.,5.如图，在四棱锥PABCD中，若PA平面ABCD且ABCD是菱形求证：平面PAC平面PBD 分析 证明本题的关键是在其中一个平面内找一条直线垂直于另一个平面,证明 PA平面ABCD，BD平面ABCD， BDPA ABCD是菱形，BDAC 又PAACA，BD平面PAC 又BD平面PBD， 平面PBD平面PAC,点评 证明平面与平面垂直的方法： (1)面面垂直的定义法：证明平面角为直角； (2)面面垂直的判定定理：在一个面内找另一个面的垂线 根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，即要证明面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直,
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