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最新考纲 1.能用向量方法解决直线与直线，直线与平面， 平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体 几何问题中的应用,第7讲 立体几何中的向量方法（二）求空间角,1空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos _ _ (2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n， 则直线l与平面所成角满足sin _,知 识 梳 理,|cosm1，m2|,|cosm，n|,(3)求二面角的大小 ()如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_ ()如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |_，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角),|cosn1，n2|,2点面距的求法 如图，设AB为平面的一条斜线段， n为平面的法向量，则B到平面的 距离d_,1判断正误(请在括号中打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角 ( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角 ( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角 ( ),诊 断 自 测,A30 B60 C120 D150 答案 A,3设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是 ( ) 解析 如图建立坐标系则D1(0， 0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，,答案 D,4(2015郑州模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_ 解析 以D为原点，DA为x轴，DC为 y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标 系， 设n(x，y，z)为平面A1BC1的法向 量,答案 60 ,考点一 求异面直线所成的角 (1)PCD的面积 (2)异面直线BC与AE所成的角的大小,解 (1)因为PA底面ABCD，所以PACD. 又ADCD，所以CD平面PAD，从而CDPD. (2)法一 如图1，取PB中点F，连接 EF，AF，则EFBC，从而AEF (或其补角)是异面直线BC与AE所成 的角,图1,图2,【训练1】 如右图所示正方体ABCD ABCD，已知点H在ABCD的对角 线BD上，HDA60. 求DH与CC所成的角的大小,考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角 【例2】 (2014北京卷)如图，正方形 AMDE的边长为2，B，C分别为 AM，MD的中点在五棱锥 PABCDE中，F为棱PE的中点， 平面ABF与棱PD，PC分别交于 点G，H. (1)求证：ABFG； (2)若PA底面ABCDE，且PAAE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长,(1)证明 在正方形AMDE 中，因为B是AM的中点，所以ABDE. 又因为AB平面PDE， 所以AB平面PDE. 因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG， 所以ABFG. (2)解 因为PA底面ABCDE， 所以PAAB，PAAE.,设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则 设点H的坐标为(u，v，w),规律方法 利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角,【训练2】 (2014福建卷)在平面四边形 ABCD中，ABBDCD1， ABBD，CDBD，将ABD沿 BD折起，使得平面ABD平面BCD， 如图 (1)求证：ABCD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值 (1)证明 平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD， AB平面BCD. 又CD平面BCD，ABCD.,(2)解 过点B在平面BCD内作 BEBD，如图 由(1)知AB平面BCD， BE平面BCD，BD平面BCD， ABBE，ABBD.,取z01，得平面MBC的一个法向量为n(1，1，1) 设直线AD与平面MBC所成角为，,考点三 利用空间向量求二面角 【例3】 (2014广东卷)如图，四边形 ABCD为正方形，PD平面ABCD， DPC30，AFPC于点F， FECD，交PD于点E. (1)证明：CF平面ADF； (2)求二面角DAFE的余弦值 (1)证明 ED平面ABCD，AD平面ABCD， EDAD. 又四边形ABCD为正方形，因此ADCD. EDCDD，,AD平面CDEF. 由于CF平面CDEF， ADCF. 又AFCF，AFADA. 故CF平面ADF. (2)解 如图所示， 建立空间直角坐标系，点D为坐标 原点，设DC1.,设平面AEF的法向量为n1(x1，y1，z1)，,规律方法 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角,【训练3】 (2014辽宁卷)如图，ABC和 BCD所在平面互相垂直，且 ABBCBD2，ABCDBC 120，E，F分别为AC，DC的中 点 (1)求证：EFBC； (2)求二面角EBFC的正弦值,思想方法 1利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算 2合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同,(2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点 (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系,易错防范 1异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角 2二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.,
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