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第二章 矩阵,1. 矩阵的定义,由mn个数 aij ( i=1,2,m;j=1,2,n )排成的m行n列的数表:,称为m行n列的矩阵. 简称 mn 矩阵.简记为:,这mn个数aij称为矩阵A的元素.,A=Amn=( aij )mn=( aij ).,元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.,一、基本概念,2. 特殊矩阵,(1) 行数与列数都等于n的矩阵A, 称为n阶方阵. 也可记作An,(或对角阵), 其中1, 2, , n不全为零. 记作 ding(1, 2, , n),(3) 如果En=diag(1, 2, , n)=diag(1,1,1), 则称En为(n阶)单位矩阵, 或简称单位阵. 简记为E.,(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, mn 阶零矩阵记作Omn或O.,(5) 只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵(或行(列)向量).,2. 两个矩阵A=(aij)与B=(bij)为同型矩阵, 并且对应元素相等, 即 aij = bij ( i=1,2,m; j=1,2, n ) 则称矩阵A与B相等, 记作A=B.,1. 两个矩阵的行, 列数对应相等, 称为同型矩阵.,3. 同型矩阵和相等矩阵,4. 矩阵的加法,设有两个同型的 mn 矩阵A=(aij)与B=(bij),那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij), 记作A+B, 即,矩阵加法的运算规律,(1) 交换律: A+B=B+A. (2) 结合律: (A+B)+C=A+(B+C).,矩阵A=(aij), 称 A=(aij)为矩阵A的负矩阵.,A+(A)=O, AB=A+(B).,5. 数与矩阵相乘,数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作A或A, 简称为数乘.,设A, B为同型的mn 矩阵, , 为数: (1) ()A = (A). (2) (+)A = A+A. (3) (A+B) = A+B.,数乘矩阵的运算规律,矩阵的加法与数乘运算, 统称为矩阵的线性运算.,设A=(aij)是一个ms 矩阵, B=(bij)是一个sn 矩阵, 定义矩阵A与矩阵B的乘积C=(cij)是一个mn矩阵, 其中,6. 矩阵与矩阵相乘,( i=1,2, m; j=1,2, n ). 并把此乘积记作C=AB.,矩阵乘法的运算规律,(1) 结合律: (AB)C=A(BC); (2) 分配律: A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA; (3) (AB)=(A)B=A(B), 其中为数; (4) AmnEn= EmAmn= A;,把矩阵A 的行列互换, 所得到的新矩阵, 叫做矩阵A 的转置矩阵, 记作AT.,7. 转置矩阵,(1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT; (3) (A)T = AT; (4) (AB)T = BTAT;,转置矩阵的运算性质,8. 方阵的运算,方阵的幂满足幂运算律: AkAm=Ak+m, (Am)k=Amk, 其中k, m为正整数.,若A是n 阶方阵, 则Ak为A的k次幂, 定义为 A1 = A, Ak+1 = AkA1, ( k为正整数 ),由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .,方阵行列式的运算性质,(1) | AT | = | A |; (2) | A | = n| A |; (3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |.,9. 一些特殊的矩阵,设A为n 阶方阵: (1) 如果 AT = A, 称A为对称矩阵; (2) 如果 AT = A, 称A为反对称矩阵; (3) 如果 A2 = A, 称A为幂等矩阵; (4) 如果 A2 = E, 称A为对合矩阵; (5) 如果 AAT = ATA = E, 称A为正交矩阵;,(6) 主对角线以下(上)的元素都为零的方阵称为上(下)三角矩阵;,(7) 行列式 | A | 的各个元素的代数余子式Aij 所构成的如下矩阵,称为矩阵A 的伴随矩阵.,性质: AA* = A*A = | A | E.,对于n 阶方阵A, 如果存在一个n 阶方阵B, 使得 AB = BA = E 则称矩阵A是可逆的(非奇异的, 非退化的), 并称矩阵B为A的逆矩阵. A的逆矩阵记作A-1.,10. 逆矩阵,(2) 矩阵A可逆的充要条件是| A | 0.,(3) 若A是可逆矩阵, 则,(4) 若 AB = E ( 或 BA = E ), 则 B = A-1.,(1) 若A是可逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的.,(5) 若矩阵A可逆, 且 0, 则 A 亦可逆, 且,(7) 若矩阵A可逆, 则AT 亦可逆, 且(AT)-1=(A-1)T.,(6) 若A, B为同阶可逆方阵, 则AB亦可逆, 且 (AB)-1 = B-1A-1.,(8) 若矩阵A可逆, 则有| A-1 |=| A |-1.,逆矩阵的计算方法:,(3)初等变换法(下一章介绍).,(2)伴随矩阵法:,(1)待定系数法;,矩阵的分块, 主要目的在于简化运算及便于论证. 分块矩阵的运算规则与矩阵的运算规则相类似,11. 分块矩阵,矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于 论证,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似,分块矩阵,例1: 设,计算A2,项式, 并验证 f(A) = O.,例3: 设A, B都是n 阶可逆矩阵, 证明D =,为可逆矩阵, 并求D1.,例4: 设A, B, C, D都是n 阶方阵, A是非奇异的, E是n 阶单位阵, 并且,(2) 证明:,(1) 求矩阵积XYZ;,二、 典 型 例 题,例1: 设,解: 由于,计算A2 .,= A.,所以,即 A2 = A, 所以A为幂等矩阵.,解:,由此得:,项式, 并验证 f(A) = O.,= 2 (a+d) + ( ad bc ).,f(A) = A2 (a+d) A + ( ad bc )E.,得证 f(A) = O.,证: 由于A, B都是n 阶可逆矩阵, 即| A | 0, | B | 0,则 | D |= | A | | B | 0,所以D为可逆矩阵.,设,其中Xij 均为n 阶矩阵(i , j = 1,2).,其中E为n 阶单位矩阵.,由矩阵相等的定义有:,从而得, X11= A-1, X12= O, X21= B-1C A-1, X22= B-1.,故,同理可得: 设A, B都是n 阶可逆矩阵,(1) 若,则,(2) 若,则,例4: 设A, B, C, D都是n 阶方阵, A是非奇异的, E是n 阶单位阵, 并且,(2) 证明:,(1) 求矩阵积XYZ;,解(1): 根据分块矩阵的乘法, 得,解(2): 根据(1)的结果, 得,又由于,| XYZ | = | X | Y | Z |,而,| X | = | Z | = 1,所以有,例5: 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明: (1) 若| A | = 0, 则| A* | = 0; (2) |A*| = | A |n1.,证明(1): 当A = O时, | A |的所有代数余子式均为0,从而A* = 0, 故| A* | = 0.,当 A O且| A | = 0时, 用反证法证明.,假设| A* | 0, 则有A*(A*)1 = E,由此得,A = AE = AA*(A*)1 = AA*(A*)1 = | A |E(A*)1 = O,这与A O矛盾,故当| A | = 0时, | A* | = 0.,证明(2): 当| A | = 0时, 则由(1)得| A* | = 0,从而| A* | = | A |n1成立.,当| A | 0时, 由 AA* = | A | E 得,| A | | A* | = | AA* | = | A | E | = | A |n,由| A | 0得, | A* | = | A |n1.,例6,解,方法一 用定义求逆阵,注,方法二,注 此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的 矩阵不适用,
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