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第二章 空间向量与立体几何,4 用向量讨论垂直与平行(二),1.会利用平面法向量证明两个平面垂直. 2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直(线线、线面、面面)关系.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点 空间垂直关系的向量表示,思考 直线的方向向量和平面的法向量在确定直线、平面的位置时各起到什么作用？ 答案 (1)方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量 . 方向向量的不惟一性：直线的方向向量不是惟一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量，解题时，可以选取坐标最简的方向向量. 非零性：直线的方向向量是非零向量. (2)对平面法向量的两点说明 平面法向量的选取：平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量.即只需作一条垂直于平面的直线，选取该直线的方向向量. 平面法向量的不惟一性：一个平面的法向量不是惟一的，一个平面的所有法向量共线.在应用时，可以根据需要进行选取.,答案,返回,题型探究 重点突破,题型一 证明线线垂直问题 例1 如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点.求证：EFBC.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,证明 由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，垂足为A，ABAD于A，ACCD于C，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.求证AECD.,证明 以A为坐标原点建立空间直角坐标系， 设PAABBC1，则A(0,0,0)，P(0,0,1). ABC60，ABC为正三角形.,解析答案,反思与感悟,题型二 证明线面垂直问题 例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF平面B1AC.,解析答案,反思与感悟,证明 方法一 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).,(1)0(1)2120.,EFAB1，EFAC.,又AB1ACA，AB1平面B1AC，AC平面B1AC， EF平面B1AC.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,同理，EFB1C. 又AB1B1CB1，AB1平面B1AC，B1C平面B1AC， EF平面B1AC.,反思与感悟,本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算.,解析答案,跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点.求证：A1O平面GBD.,解析答案,证明 方法一 如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为2， 则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，,即OA1OB，OA1BG， 而OBBGB，OA1平面GBD.,方法二 同方法一建系后，设面GBD的一个法向量为n(x，y，z)，,令x1得z2，y1， 平面GBD的一个法向量为(1,1,2)，,解析答案,反思与感悟,题型三 证明面面垂直 例3 如图，底面ABCD是正方形，AS平面ABCD，且ASAB，E是SC的中点.求证：平面BDE平面ABCD.,证明 设ABBCCDDAAS1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，,又因为AS平面ABCD，所以OE平面ABCD， 又OE平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.,反思与感悟,反思与感悟,利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.,跟踪训练3 在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBC，ABBC2，AA11，E为BB1的中点，求证：平面AEC1平面AA1C1C.,解析答案,返回,解析答案,解 由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，,设平面AA1C1C的法向量为n1(x，y，z)，,令x1，得y1，故n(1,1,0).,设平面AEC1的法向量为n2(a，b，c)，,令c4，得a1，b1. 故n2(1,1,4). 因为n1n2111(1)040， 所以n1n2. 所以平面AEC1平面AA1C1C.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.已知平面的法向量为a(1，2，2)，平面的法向量为b(2，4，k)，若，则k等于( ) A.5 B.4 C.4 D.5 解析 ，ab， ab282k0，k5.,D,1,2,3,4,5,解析答案,2.设直线l1，l2的方向向量分别为a(2,2,1)，b(3,2,m)，若l1l2，则m等于( ) A.2 B.2 C.6 D.10 解析 l1l2，ab0， 2322m0，m10.,D,1,2,3,4,5,解析答案,3.若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( ) A.n1(1,2,1)，n2(3,1,1) B.n1(1,1,2)，n2(2,1,1) C.n1(1,1,1)，n2(1,2,1) D.n1(1,2,1)，n2(0，2，2) 解析 1(3)21110， n1n20，故选A.,A,1,2,3,4,5,解析答案,4.若直线l的方向向量为a(2,0,1)，平面的法向量为n(4,0,2)，则直线l与平面的位置关系为( ) A.l与斜交 B.l C.l D.l 解析 a(2,0,1)，n(4,0,2)， n2a，an，l.,D,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知平面和平面的法向量分别为a(1,1,2)，b(x,2,3)，且，则x_. 解析 ，ab0， x2230，x4.,4,课堂小结,返回,1.利用空间向量解决立体几何问题的“三个基本步骤”： (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)； (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题. 2.证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明.,
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