正交矩阵及其性质.ppt

2019/11/22,1,4.3 正交矩阵及其性质,2019/11/22,2,定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I, 就 称A为正交矩阵.(A-1=AT ) 定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基. 证 设,按列分块为a1,a2,.,an,2019/11/22,3,于是,因此ATA=I的充分必要条件是,此定理可作为判定正交矩阵的一种方法,2019/11/22,4,定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵. 证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A)2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标准正交基, (iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得AB也是正交矩阵.,2019/11/22,5,定理,方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量构成标准正交组。,推论1,方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量构成标准正交组。,A是正交矩阵,方阵A的列向量构成标准正交组,方阵A的行向量构成标准正交组,是正交矩阵,2019/11/22,6,例,现有标准正交组,求三维向量,使得矩阵,为正交矩阵,解,是标准正交组,2019/11/22,7,或,定义 若A为正交矩阵，则线性变换 称为正交变换。,定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。,2019/11/22,8,也就是说，若列向量X,YRn在n阶正交矩阵A作用下变换为AX, AYRn, 则向量的内积与长度及向量间的夹角都保持不变, 即 (AX,AY)=(X,Y), |AX|=|X|, AX,AY=X,Y. 证 (AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y =XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因此,所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.,