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,数学 苏（理）,14.4 不等式选讲,第十四章 系列4选讲,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.两个实数大小关系的基本事实 ab ； ab ； ab，那么 ；如果 ，那么ab. 即ab .,ab0,ab0,ab0,ba,ba,ba,(2)传递性：如果ab，bc，那么 . (3)可加性：如果ab，那么 . (4)可乘性：如果ab，c0，那么 ；如果ab，cb0，那么an bn(nN，n1). (6)开方：如果ab0，那么 (nN，n1).,ac,acbc,acbc,acbc,3.绝对值三角不等式 (1)性质1：|ab| . (2)性质2：|a|b| . 性质3： |ab| .,|a|b|,|ab|,|a|b|,|a|b|,4.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集,x|axa,x|xa或xa,x|xR且x0,R,(2)|axb|c (c0)和|axb|c (c0)型不等式的解法 |axb|c ； |axb|c . (3)|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.,caxbc,axbc或axbc,5.基本不等式 (1)定理：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立. (2)定理(基本不等式)：如果a，b0，那么 ，当且仅当 时，等号成立.也可以表述为：两个 的算术平均 它们的几何平均.,ab,正数,不小于(即大于或等于),(3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x，y， 如果它们的和S是定值，则当且仅当 时，它们的积P取得最 值； 如果它们的积P是定值，则当且仅当 时，它们的和S取得最 值.,xy,大,xy,小,abc,不小于,不小于,a1a2an,(3)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.,8.证明不等式的方法 (1)比较法 求差比较法 知道abab0，ab，只要证明、 即可，这种方法称为求差比较法.,ab0,(2)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的 ，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法. (3)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法.,充分条件,(4)反证法的证明步骤 第一步：作出与所证不等式 的假设； 第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立. (5)放缩法 所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地 ，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立.,相反,放大或缩小,(6)数学归纳法 设Pn是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以断定Pn对一切自然数成立.,(4，2)(0,2),1,x|1x1,解析,解析,例1 已知函数f(x)|xa|x2|. (1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；,题型一 含绝对值的不等式的解法,解析,思维升华,解析,思维升华,例1 已知函数f(x)|xa|x2|. (1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；,题型一 含绝对值的不等式的解法,当x2时，由f(x)3得 2x53，解得x1；,解析,思维升华,例1 已知函数f(x)|xa|x2|. (1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；,题型一 含绝对值的不等式的解法,当2x3时，f(x)3无解； 当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4. 所以f(x)3的解集为x|x1或x4.,解绝对值不等式的基本方法： (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.,解析,思维升华,例1 已知函数f(x)|xa|x2|. (1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；,题型一 含绝对值的不等式的解法,例1 已知函数f(x)|xa|x2|. (2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围.,解析,思维升华,解 f(x)|x4|x4|x2|xa|. 当x1,2时，|x4|x2|xa| 4x(2x)|xa|2ax2a. 由条件得2a1且2a2，即3a0. 故满足条件的a的取值范围为 3,0.,解析,思维升华,例1 已知函数f(x)|xa|x2|. (2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围.,解析,思维升华,例1 已知函数f(x)|xa|x2|. (2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围.,解绝对值不等式的基本方法： (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.,解析 方法一 要去掉绝对值符号，需要对x与2和1进行大小比较，2和1可以把数轴分成三部分.当x2时，不等式等价于(x1)(x2)5，解得x3；当2x 1时，不等式等价于(x1)(x2)5，即35，无解；当x1时，不等式等价于x1x25，解得x2.综上，不等式的解集为x|x3或x2.,跟踪训练1 (1)(2014广东)不等式|x1|x2|5的解集为_.,跟踪训练1 (1)(2014广东)不等式|x1|x2|5的解集为_.,方法二 |x1|x2|表示数轴上的点x到点1 和点2的距离的和，如图所示，数轴上到点1 和点2的距离的和为5的点有3和2，故满足不等式|x1|x2|5的x的取值为x3或x2，所以不等式的解集为x|x3或x2.,x|x3或x2,解析 |ax2|3，1ax5.,当a0时，xR，与已知条件不符；,3,题型二 柯西不等式的应用,解析,思维升华,解析,思维升华,题型二 柯西不等式的应用,解析,思维升华,题型二 柯西不等式的应用,使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.,解析,思维升华,例2 已知x，y，z均为实数. (2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值.,例2 已知x，y，z均为实数. (2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值.,解析,思维升华,例2 已知x，y，z均为实数. (2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值.,解析,思维升华,跟踪训练2 已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，求证：1a2.,即2b23c26d2(bcd)2， 由已知可得2b23c26d25a2， bcd3a，5a2(3a)2， 即1a2.,即2b3c6d时等号成立.,解析,思维升华,题型三 不等式的证明方法,证明 a，b，c(0，)，,解析,思维升华,题型三 不等式的证明方法,用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.,解析,思维升华,题型三 不等式的证明方法,解析,思维升华,证明 a，b，c(0，)，,解析,思维升华,两边同加abc得,解析,思维升华,用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.,解析,思维升华,证明 因为x0，y0，xy0，,只需证明(abc)23. 即证：a2b2c22(abbcca)3， 而abbcca1， 故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca). 即证：a2b2c2abbcca.,所以原不等式成立.,思想与方法系列23 绝对值不等式的解法,典例：(10分)解不等式|x1|x1|3.,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,本题不等式为|xa|xb|c型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法.,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,解 方法一 如图所示，设数轴上与1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都大于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,当1x1时，原不等式可以化为 x1(x1)3，即23.不成立，无解.,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,方法三 将原不等式转化为|x1|x1|30. 构造函数y|x1|x1|3，,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,作出函数的图象，如图所示：,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,即|x1|x1|30.,温 馨 提 醒,规 范 解 答,思 维 点 拨,这三种方法是解|xa|xb|c型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.,方 法 与 技 巧,1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解. 含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|xa|xb|m或|xa|xb|m (m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便.,2.不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法.,方 法 与 技 巧,3.柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛.柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等.应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式.,失 误 与 防 范,1.理解绝对值不等式的几何意义.,2.掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.,3.利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征.,4.注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.,2,3,4,5,6,1,解 |x3|x4|9， 当x3时，x3(x4)9， 即4x3； 当3x4时，x3(x4)79恒成立；,2,3,4,5,6,1,当x4时，x3x49， 即4x5. 综上所述，Ax|4x5.,2,3,4,5,6,1,Bx|x2， ABx|2x5.,3,4,5,6,1,2,2.(2014江苏)已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy. 证明 因为x0，y0，,3,4,5,6,1,2,证明 假设a、b、c都不大于0， 即a0，b0，c0，所以abc0. 而abc,3,4,5,6,1,2,(x22x)(y22y)(z22z) (x1)2(y1)2(z1)23. 所以abc0，这与abc0矛盾， 故a、b、c中至少有一个大于0.,3,4,5,6,1,2,证明 由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得 a2b2c2abbcca. 由题设得(abc)21，,3,4,5,6,1,2,即a2b2c22ab2bc2ca1. 所以3(abbcca)1，,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,5.设不等式|2x1|1的解集为M. (1)求集合M； 解 由|2x1|1得12x11， 解得0x1. 所以Mx|0x1.,(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小. 解 由(1)和a，bM可知00. 故ab1ab.,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,6.(2014辽宁)设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N. (1)求M；,3,4,5,6,1,2,当x1时，由f(x)1x1得x0，故0x1.,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,当xMN时，f(x)1x，,2,3,4,1,证明 n(n1)n2，,2,3,4,1,2,3,4,1,2.(2013课标全国)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3. (1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集； 解 当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30. 设函数y|2x1|2x2|x3，,2,3,4,1,其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0， 所以原不等式的解集是x|0x2.,2,3,4,1,f(x)|2x1|2xa|,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,3.(2014天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M0,1,2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1,2，n. (1)当q2，n3时，用列举法表示集合A； 解 当q2，n3时，M0,1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1,2,3，可得A0,1,2,3,4,5,6,7.,2,3,4,1,(2)设s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1,2，n.证明：若anbn，则st. 证明 由s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1,2，n及anbn，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1,(q1)(q1)q(q1)qn2qn1,2,3,4,1,所以st.,2,3,4,1,2,3,4,1,
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