二重积分的变量变换公式用极坐标计算二重积分.ppt

二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分,4 二重积分的变量变换,满足,一阶偏导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,定理21.13,变换:,是一一对应的 ,一、二重积分的变量变换公式,则,证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形, 其顶点为,通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,同理得,当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四,边形,故其面积近似为,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如, 直角坐标转化为极坐标时,例1. 计算,其中D 是 x = 0, y = 0,x + y = 1 所围区域.,解,则,令,例2. 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线,所围区域 D 的面积.,解,令,当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时,二、用极坐标计算二重积分,则,(ii) 若原点在 D 内，则,(i) 若原点在 D 外，,(iii) 若原点在 D 的边界上，,(iv) 若区域 D 可表示为,则,例3. 计算,其中,例4. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解,由对称性可知,例5. 计算,其中,解,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,坐标计算.,作极坐标系变换，有,例6. 求椭球体,解:,由对称性,令,则,的体积V.,