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第十四章 推理与证明,高考理数,一、推理,知识清单,二、证明 1.直接证明,2.间接证明 反证法:假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出 矛盾 ,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫反证法. 反证法证明问题的一般步骤: 反设:假设要证的结论不成立,而设结论的反面成立.(否定结论) 归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾.(推导矛盾) 立论:既然原命题的结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立) 三、数学归纳法 1.数学归纳法的定义 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法.根据推理过程中考察的对象是事 物的全体还是部分,可分为 完全 归纳法和 不完全 归纳法. 2.数学归纳法证题的步骤 (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n=n0(n0N*)时,命题成立. (2)(归纳递推)假设 n=k (kn0,kN*)时,命题成立,证明当 n=k+1 时,命题也成立.,只要完成以上两个步骤,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立. 【知识拓展】 数学归纳法的应用 1.数学归纳法与递推思想 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,两 个步骤缺一不可,否则就会导致错误. 2.如何正确运用数学归纳法 用数学归纳法证明的关键在于两个步骤,要做到“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明 莫忘掉”.因此必须注意以下两点: (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n0,这个数n0就是要证明的命题对象的最小自 然数,这个自然数并不一定都是“1”. (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,必须把“n=k”时的归纳假设作为 条件来导出“n=k+1”时的命题,在推导过程中,归纳假设要用一次或几次.,归纳推理的一般步骤: 例1 (2015广东湛江一模,10,5分)由正整点坐标(横坐标和纵坐标都是正整数)表示的一组平面 向量ai(i=1,2,3,n,)按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图.规则:nN*,第n行 共有(2n-1)个向量,若第n行第k个向量为am,则am= 例如a1=(1,1),a2=(1,2),a3= (2,2),a4=(2,1),依此类推,则a2 015= ( ),突破方法,方法1 归纳推理,A.(44,11) B.(44,10) C.(45,11) D.(45,10) 解析 第n行共有(2n-1)个向量, 前n行共有1+3+5+(2n-1)= =n2个向量, 4422 015452,且442=1 936, a2 015是第45行第79个向量, a2 015=(45,11).故选C. 答案 C 1-1 (2016湖北黄冈一模,11,5分)观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的 不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,则|x|+|y|=20的不同整数 解(x,y)的个数为 ( ) A.76 B.80 C.86 D.92 答案 B 解析 由已知条件,得|x|+|y|=n(nN+)的整数解(x,y)的个数为4n,故|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的 个数为80.故选B.,1-2 (2016湖北罗田一模,14,5分)观察下列等式: (1+1)=21; (2+1)(2+2)=2213; (3+1)(3+2)(3+3)=23135; 照此规律,第n个等式可为 . 答案 (n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n-1) 解析 考查规律的观察、概况能力,注意项数、开始值和结束值.第n个等式可为:(n+1)(n+2)(n+ 3)(n+n)=2n135(2n-1).,类比推理的一般步骤: 例2 (2014江西南昌3月模拟,12,5分)在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积 比为14,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为 . 解析 两个正三角形是相似三角形,它们的面积比是相似比的平方.同理,两个正四面体是 两个相似几何体,体积比是相似比的立方,它们的体积比为18. 答案 18 2-1 (2016贵州都匀二模,10,5分)已知正三角形内切圆的半径是其高的 ,把这个结论推广到空 间正四面体,类似的结论是 ( ) A.正四面体的内切球的半径是其高的 B.正四面体的内切球的半径是其高的,方法2 类比推理,C.正四面体的内切球的半径是其高的 D.正四面体的内切球的半径是其高的 答案 C 解析 原问题的解法为等面积法,即S= ah=3 arr= h,类比问题的解法应为等体积法,V= Sh=4 Srr= h,即正四面体的内切球的半径是其高的 ,故选C.,应用反证法证明数学命题,一般有下面几个步骤: 第一步:分清命题“pq”的条件和结论; 第二步:作出与命题结论q相反的假设q; 第三步:由p和q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步:断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设q不真,于是原结论q成立,从而间接地证 明了命题pq为真. 所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾,与临 时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果. 例3 (2012江苏,20,16分)已知各项均为正数的两个数列an和bn满足:an+1= ,nN*. (1)设bn+1=1+ ,nN*,求证:数列 是等差数列; (2)设bn+1= ,nN*,且an是等比数列,求a1和b1的值.,方法3 间接证明,解题导引 (1)an+1变形 = 两边平方 可证结论 (2)基本 不等式 10,bn0,所以 + (an+bn)2,从而10知q0.下证q=1. 若q1,则a1= logq 时,an+1=a1qn ,与(*)矛盾; (8分) 若0a21,故当nlogq 时,an+1=a1qn1,于是b1b2b3. 又由a1= 得bn= , 所以b1,b2,b3中至少有两项相同,矛盾. (14分),所以a1= ,从而bn= = . 所以a1=b1= . (16分) 3-1 等差数列an的前n项和为Sn,a1=1+ ,S3=9+3 . (1)求数列an的通项an与前n项和Sn; (2)设bn= (nN*),求证:数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 解析 (1)由已知得 d=2,故an=2n-1+ ,Sn=n(n+ ). (2)证明:由(1)得bn= =n+ . 假设数列bn中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列,则 =bpbr,即(q+ )2=(p+ ) (r+ ), (q2-pr)+(2q-p-r) =0.p,q,rN*, =pr,(p-r)2=0,p=r,与pr矛盾.数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.,由k到k+1的证明中寻找由k到k+1的变化规律是难点,突破难点的关键是掌握由k到k+1的证 明方法.在运用归纳假设时,应分析P(k)与P(k+1)的差异及联系,利用拆、添、并、放、缩等方法, 或从P(k)出发拼凑P(k+1),或从P(k+1)中分离出P(k),再进行局部调整;也可考虑寻求二者的“结 合点”,以便顺利过渡,切实掌握“观察归纳猜想证明”这一特殊到一般的推理方 法. 例4 (2014大纲全国,22,12分)函数f(x)=ln(x+1)- (a1). (1)讨论f(x)的单调性; (2)设a1=1,an+1=ln(an+1),证明: 0, f(x)在(-1,a2-2a)上是增函数; 若x(a2-2a,0),则f (x)0, f(x)在(a2-2a,0)上是减函数;,方法4 数学归纳法的应用,若x(0,+),则f (x)0, f(x)在(0,+)上是增函数. (4分) (ii)当a=2时, f (x)0, f (x)=0成立当且仅当x=0, f(x)在(-1,+)上是增函数. (iii)当a2时,若x(-1,0),则f (x)0, f(x)在(-1,0)上是增函数; 若x(0,a2-2a),则f (x)0, f(x)在(a2-2a,+)上是增函数. (6分) (2)由(1)知,当a=2时, f(x)在(-1,+)上是增函数. 当x(0,+)时, f(x)f(0)=0,即ln(x+1) (x0). 又由(1)知,当a=3时, f(x)在0,3)上是减函数. 当x(0,3)时, f(x)f(0)=0,即ln(x+1) (0x3). (9分) 下面用数学归纳法证明 an . (i)当n=1时,由已知 a1=1,故结论成立; (ii)设当n=k时结论成立,即 ak .,+ ,所以f1 =- , f2 =- + . 故2f1 + f2 =-1. (2)证明:由已知,得xf0(x)=sin x,等式两边分别对x求导,得f0(x)+xf 0(x)=cos x, 即f0(x)+xf1(x)=cos x=sin ,类似可得 2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+), 3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin , 4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2). 下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin 对所有的nN*都成立. (i)当n=1时,由上可知等式成立. (ii)假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin . 因为kfk-1(x)+xfk(x)=kf k-1(x)+fk(x)+xf k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x), =cos =,sin , 所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin . 因此当n=k+1时,等式也成立. 综合(i),(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin 对所有的nN*都成立. 令x= ,可得nfn-1 + fn =sin (nN*). 所以 = (nN*).,
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