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第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值,第2课时 函数的最值,1.理解函数的最大(小)值及其几何意义. 2.会求简单函数的最大值或最小值.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点 函数的最大(小)值及几何意义,答案,f(x)M,f(x)M,答案,返回,思考 任何函数都有最大(小)值吗？,题型探究 重点突破,题型一 利用函数的图象求最值,解析答案,解 作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知，当x1时，f(x)取最大值为f(1)1.当x0时，f(x)取最小值f(0)0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0.,反思与感悟,1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值. 2.如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 (1)函数f(x)的部分图象如图所示，则该函数在2,2上的最小值、最大值分别是( ) A.f(2)，f(3) B.0,2 C.f(2)，2 D.f(2)，2 解析 由图象可知， x2时，f(x)取得最小值为f(2)1， x1时，f(x)取得最大值为f(1)2.,C,解析答案,解 f(x)的图象如图所示，f(x)的单调递增区间是(，0)和0，)，函数的最小值为f(0)1.,解析答案,题型二 利用单调性求函数的最值,反思与感悟,2x10，x110， f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1).,反思与感悟,1.当函数图象不易作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值. 2.函数的最值与单调性的关系： (1)若函数在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值.,解析答案,(1)求证：f(x)在1，)上是增函数； 证明 设1x1x2，,1x1x2，x1x20，x1x21， x1x210， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2). f(x)在1，)上是增函数.,解析答案,(2)求f(x)在1,4上的最大值及最小值. 解 由(1)可知，f(x)在1,4上递增， 当x1时，f(x)minf(1)2，,解析答案,题型三 闭区间上二次函数的最值问题 例3 已知函数f(x)x2ax3，x1,1. (1)若a1，求函数f(x)的最值；,解析答案,(2)若aR，求函数f(x)的最小值.,反思与感悟,在1,1上单调递增，f(x)minf(1)4a.,反思与感悟,1.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且它们只能在区间的端点或二次函数图象的对称轴上取到. 2.解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为ya(xh)2k的形式，再依a的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴xh得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值. 对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型： (1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值； (2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值； (3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数. 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.,反思与感悟,3.对于二次函数f(x)a(xh)2k(a0)在区间p，q上的最值问题可作如下讨论： (1)对称轴xh在区间p，q的左侧，即当hp时，f(x)maxf(q)，f(x)minf(p). (2)对称轴xh在区间p，q之间，即当phq时，f(x)minf(h)k.,(3)对称轴xh在区间p，q的右侧，即当hq时， f(x)maxf(p)，f(x)minf(q). 当a0时，可类似得到结论.,解析答案,跟踪训练3 已知函数f(x)x22ax2，x5,5. (1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值； 解 当a1时，f(x)x22x2(x1)21， x5,5，故当x1时，f(x)的最小值为1. 当x5时，f(x)的最大值为37. (2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数. 解 函数f(x)(xa)22a2图象的对称轴为xa. f(x)在5,5上是单调函数， 故a5，或a5. 即实数a的取值范围是a|a5，或a5.,解析答案,题型四 函数最值的实际应用,(1)将利润表示为月产量的函数f(x)； 解 设月产量为x台，则总成本为20 000100x，,解析答案,(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润),反思与感悟,当x300时，f(x)max25 000， 当x400时，f(x)60 000100x是减函数， f(x)60 00010040025 000. 当x300时 ，f(x)max25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大， 最大利润为25 000元.,反思与感悟,1.解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围. 2.实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.,解析答案,跟踪训练4 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？ 解 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x50)元，销售量减少10(x50)个. y(x40)(1 00010x) 10(x70)29 0009 000. 故当x70时，ymax9 000. 答 售价为70元时，利润最大为9 000元.,解析答案,1x10，2x1x22，,利用函数最值或分离参数求解恒成立问题,解题思想方法,f(x)在区间1，)上为增函数，,解析答案,(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围. 解 在区间1，)上f(x)0恒成立 x22xa0恒成立. 设yx22xa，x1，)， 则函数yx22xa(x1)2a1在区间1，)上是增函数. 所以当x1时，y取最小值，即ymin3a， 于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立， 故a3.,反思与感悟,反思与感悟,在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论： af(x)恒成立af(x)max af(x)恒成立af(x)min.,解析答案,返回,跟踪训练5 设f(x)x24x3，不等式f(x)a对xR恒成立，则实数a的取值范围是_. 解析 f(x)x24x3(x2)21， 由f(x)a恒成立，知f(x)mina， a1.,(，1,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1. 函数f(x)(2x2)的图象如图所示，则函数的最大值和最小值分别为( ),C,解析答案,A,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析答案,解析 函数yx在1,2上是增函数，,B,解析答案,1,2,3,4,5,4.f(x)x22x1，x2,2的最大值是_. 解析 f(x)x22x1(x1)2， f(x)在2，1上递减，在1,2上递增， f(x)maxf(2)9.,9,1,2,3,4,5,解析答案,6,课堂小结,1.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a). 2.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.,返回,
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