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,第4节 双曲线,基 础 梳 理,1双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的_等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的_，两焦点间的距离叫做双曲线的_,差的绝对值,焦点,焦距,质疑探究1：与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？ 提示：只有当02a|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线，当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在,2双曲线的标准方程及简单几何性质,x轴、y轴,坐标原点,(a,0),(a,0),(0，a),(0，a),(1，),实轴,2a,虚轴,2b,质疑探究2：Ax2By21表示双曲线的条件是什么？ 提示：若A0，B0表示焦点在x轴上的双曲线；若A0，B0表示焦点在y轴上的双曲线，当上述两种条件都不满足时，不表示双曲线，所以Ax2By21表示双曲线的条件是AB0. 质疑探究3：双曲线离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？ 提示：离心率越大，双曲线开口越大,3等轴双曲线的定义及性质 _和_等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2y2(0)，离心率e_.渐近线方程为_.它们互相_，并且_实轴和虚轴所成的角,实轴,虚轴,yx,垂直,平分,解析：由方程表示双曲线可知(k3)(k5)0， 解得3k5. 故选B. 答案：B,解析：可求得a24， |PF1|PF2|2a4， 即|3|PF2|4， |PF2|7. 故选C. 答案：C,4与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程为_,考 点 突 破,双曲线的定义及标准方程,思维导引 (1)利用双曲线定义表示出ABF1的周长，进而求出|AB|.(2)根据定义确定曲线C2为双曲线且与椭圆共焦点，求出a、b.写出方程,解 (1)由双曲线方程得a4. 由双曲线定义得|AF1|AF2|8， |BF1|BF2|8， 得 |AF1|BF1|(|AF2|BF2|)16， 即|AF1|BF1|AB|16. 所以ABF1的周长为 |AF1|BF1|AB|162|AB|40， 解得|AB|12，故选B.,求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法 (1)若已知双曲线的焦点位置可设双曲线的标准方程，再根据a、b、c、e及渐近线之间的关系，求出a、b的值 (2)若不能确定焦点位置，则可设双曲线方程为Ax2By21(AB0)，根据条件求出A、B.,双曲线的几何性质,(1)求双曲线的离心率即是求c与a的比值，只需根据条件列出关于a，b，c的方程或不等式即可解决，并且需注意e1.,双曲线的综合应用,思维导引 (1)根据题意确定a，b写出方程 (2)将直线方程与双曲线方程联立、消元，得到二次方程恒有两个不同解，结合题给的条件得到关于k的不等式求出k的取值范围,(1)直线与双曲线的位置关系 判断直线l：AxByC0与双曲线E：F(x，y)0的位置关系时，,判断：,(2)解决与双曲线有关的参数的取值范围或最值问题的常用方法： 利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(组)，通过解不等式(组)求得参数的取值范围； 建立目标函数，进而转化为求解函数的值域 (3)解决直线与双曲线相交问题时，若涉及弦的中点或斜率，一般用点差法求解要注意验证求得的结果是否符合题意,即时突破3 直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A、B. (1)求实数k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由,分析：设出直线方程，把直线方程和双曲线方程联立成方程组，消元后利用中点坐标构造方程求k，最后检验判别式是否大于0.,易错提醒：该题易出现的问题有两个方面，一是利用点斜式方程时，漏掉斜率不存在时的讨论；二是利用中点坐标构造方程求出斜率k之后忽视对判别式的验证而误认为该直线存在,
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