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,不等式、推理与证明,第 六 章,第32讲 一元二次不等式及其解法,栏目导航,三个二次之间的关系,1思维辨析(在括号内打“”或“”) (1)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.( ) (2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.( ) (3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R. ( ) (4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.( ) (5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集( ),D,3不等式x(2x)0的解集为_. 解析 x(2x)0，x(x2)0，0x2，故解集为(0,2),(0,2),5不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_. 解析 由题意可知a2160，解得a4或a4.,14,(，44，),(1)解一元二次不等式的一般步骤 化为标准形式(二次项系数大于0)；确定判别式的符号；若0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若0，则对应的二次方程无根；结合二次函数的图象得出不等式的解集,一 一元二次不等式的解法,(2)解含参数的一元二次不等式，需要对参数进行分类讨论 二次项中若含有参数，应讨论是小于零、等于零，还是大于零，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； 当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与零的关系； 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式,【例1】 解下列关于x的不等式 (1)2x2x30； (2)ax222xax(aR),二 一元二次不等式恒成立问题,不等式恒成立问题的求解方法 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数 (2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值,【例2】 函数f(x)x2ax3. (1)当xR时，f(x)a恒成立，求a的取值范围； (2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围； (3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求x的取值范围 解析 (1)xR时，有x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，所以6a2，故a的取值范围为6,2 (2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：,如图(1)，当g(x)的图象恒在x轴上方时，满足条件，有a24(3a)0，即6a2. 如图(2)，g(x)的图象与x轴有2个交点，,三 一元二次不等式的实际应用,求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读、理解、审题，把握问题中的关键量，找准不等关系 (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 (3)解不等式，得出数学结论，并注意数学模型中自变量的实际意义 (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果,D,D,D,错因分析：如果式子中含有两个或多个变量，解题时通常是以一个为主，再兼顾其他 【例1】 (1)对任意x1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求a的取值范围 (2)对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求x的取值范围,易错点 分不清主元、次元,D,
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