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,立体几何,第 七 章,第42讲 直线、平面垂直的判定及其性质,栏目导航,1直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面内的_直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直,任意一条,(2)判定定理与性质定理,两条相交直线,a，b,abO,la,lb,平行,a,b,2平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理和性质定理,直二面角,垂线,l,l,交线,l,a,la,1思维辨析(在括号内打“”或“”) (1)直线l与平面内无数条直线都垂直，则l.( ) (2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个( ) (3)若两条直线垂直，则这两条直线相交( ) (4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面( ) (5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.( ),解析 (1)错误直线l与内两条相交直线都垂直才有l. (2)正确过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线，而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直 (3)错误两条直线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面 (4)错误两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而不是任意一条直线 (5)错误内的一条直线如果与内的两条相交直线都垂直才能线面垂直，从而面面垂直,2设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 由面面垂直的性质定理可知，当时，b. 又因为a，则ab; 如果am，ab，不能得到， 故“”是“ab”的充分不必要条件故选A,A,3已知m和n是两条不同的直线， 和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是( ) A且m B且m Cmn且n Dmn，n且 解析 ，且mm或m或m与相交，故A项不成立； ，且mm或m或m与相交，故B项不成立； mn，且nm.故C项成立； mn，n，且，知m不成立，故D项不成立，故选C,C,4PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_对 解析 平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD， 平面PAD平面PCD，平面PCD平面PBC， 平面PAD平面PAB，平面PAC平面PBD，共有7对,7,5在三棱锥PABC中，点P在平面ABC内的射影为点O. (1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心； (2)若PAPB，PBPC, PCPA，则点O是ABC的_心 解析 (1)若PAPBPC，由勾股定理易得OAOBOC， 故O是ABC的外心； (2)由PAPB，PCPA，得PA平面PBC，则PABC 又由PO平面ABC知POBC，所以BC平面PAO，则AOBC，同理得BOAC，COAB，故O是ABC的垂心,外,垂,(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质 (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 (3)线面垂直的性质常用来证明线线垂直,一 直线与平面垂直的判定与性质,【例1】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点 (1)求证：直线AE直线DA1； (2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE平面DFG.,解析 (1)证明：由正方体的性质可知， DA1AD1，DA1AB， 又ABAD1A，DA1平面ABC1D1， 又AE平面ABC1D1，DA1AE. (2)所求G点即为A1点，证明如下： 由(1)可知AEDA1，取CD的中点H， 连接AH，EH，由DFAH，DFEH，AHEHH，可证DF平面AHE，AE平面AHE，DFAE. 又DFA1DD，AE平面DFA1，即AE平面DFG.,二 平面与平面垂直的判定与性质,(1)判定面面垂直的方法： 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a，a) (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直,【例2】 已知三棱柱A1B1C1ABC的侧棱与底面成60角，底面是等边三角形，侧面B1C1CB是菱形且与底面垂直，求证：AC1BC 证明 过C1作C1HBC于H，连接AH， 又侧面B1C1CB底面ABC， 侧面B1C1CB 底面ABCBC， C1H底面ABC 侧棱CC1与底面ABC所成角， 即为C1CH60，,三 垂直关系中的探索性问题,解决垂直关系中的探索性问题的方法 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明,【例3】 如图，在三棱台ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC (1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa； (2)若EFCF2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由,1(2018山东青岛模拟)设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出ab的是( ) Aa，b， Ba，b， Ca，b， Da，b， 解析 对于C项，由，a可得a，又b，得ab，故选C,C,2(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则( ) Aml Bmn Cnl Dmn 解析 l，l，n，nl.,C,3如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD, ACCD，ABC60， PAABBC，E是PC的中点 证明：(1) CDAE； (2)PD平面ABE. 证明 (1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACDACCD，PAACA，CD平面PAC， 而AE平面PAC，CDAE.,(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA E是PC的中点，AEPC由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD而PD平面PCD，AEPD PA底面ABCD，PAAB又ABAD且PAADA， AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD 又ABAEA，PD平面ABE.,4如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点 (1)求证：CD平面SAD； (2)求证：PQ平面SCD； (3)若SASD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN平面ABCD？并证明你的结论 解析 (1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD 又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD， 所以CD平面SAD,(3)存在点N为SC的中点，使得平面DMN平面ABCD 连接PC，DM交于点O，连接PM，SP，NM，ND，NO， 因为PDCM，且PDCM， 所以四边形PMCD为平行四边形，所以POCO. 又因为N为SC的中点，所以NOSP. 易知SPAD， 平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD， 所以SP平面ABCD，所以NO平面ABCD 因为NO平面DMN，所以平面DMN平面ABCD,错因分析：已知条件中给出了线面垂直，求证的是线线平行，若忽略线面垂直的性质定理，则觉得论证无从下手，从而造成解题困难 【例1】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在BD，B1C上，且MNBD, MNB1C，求证：MNAC1.,易错点 联想不到已学定理,【跟踪训练1】 如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在PB, PC上的射影，给出下列结论： AFPB；EFPB；AFBC；AEBC正确结论的个数为( ) A1 B2 C3 D4,C,解析 AB是圆O的直径，ACBC，又PA面ABC，故PABC，且PAACA，BC面PAC，BCAF. 又AFPC，且PCBCC，AF面PBC，故AFPB 又AEPB，且AFAEA，PB面AEF，从而EFPB，故正确若AEBC，则可证AE面PBC，则AEAF，这是不可能的，选C,
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