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第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集 合,高考数学,1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性: 确定性、互异性、无序性 . (2)常用数集及其表示符号,知识清单,2.集合间的基本关系,3.集合的基本运算,集合中的参数问题 含有参数的集合问题一般需要就参数的不同取值决定问题的不同走向, 在解题中要进行分类讨论,确定分类讨论的标准是解决问题的关键,这 类题的难点就是分类讨论的标准,这要根据问题的实际情况进行分析解 决.含参数的集合问题一般涉及方程的解、不等式的解集、函数的定义 域和值域等知识,要结合有关的知识根据具体情况确定分类讨论的标准. 例1 已知集合M=x|mx2+2x+1=0,aR. (1)若M中只有一个元素,求m的值; (2)若M中至多有一个元素,求m的取值范围.,方法技巧,解析 (1)m=0时,M= ,符合题意; m0时,若M中只有一个元素,则=4-4m=0,即m=1. m=0或m=1. (2)M中至多有一个元素,包括两种情形: M中有一个元素,由(1)知m=0或m=1; M中没有元素,此时应有 解得m1, 所以m的取值范围是m1或m=0.,评析 本题要先搞清楚集合M中的元素是方程的根.其次找到分类的标 准.解分类讨论问题实质上就是把整体化为局部来解决,从而增加条件, 把难点分散,但分类讨论要做到不重复,不遗漏.,集合的基本关系及应用 判断集合与集合的关系可转化为判断元素与集合的关系.对于用描述法 表示的集合,要紧紧抓住代表元素及其属性,可将元素列举出来直观发 现,或通过元素特征定性分析.应做到意义化(分清集合的种类)、具体化 (具体求出相关的集合并化简)、直观化(借助数轴、Venn图、函数图象 等). 例2 已知集合A=x|1x5,C=x|-axa+3.若CA=C,则a的取值 范围为 .,解题导引 CA=C CA 分情况讨论: C=和C 求出a的范围,解析 因为CA=C,所以CA. 当C=时,满足CA,此时-aa+3,解得a- ; 当C时,要使CA, 则有 解得- a-1. 由,得a-1.,答案 a-1,评析 (1)要注意“是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集” 在解题中的应用.在解决含有参数的方程或不等式的问题时,经常容易 漏掉对空集的讨论. (2)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件,一定要把端 点值代入进行验证,否则易出现增解或漏解的现象.,集合中综合性运算问题 集合的综合性运算问题多与函数、方程、解析几何等问题相联系,解决 此类问题多利用数形结合的方法,即借助函数的图象以及解析几何中的 相关图形,根据函数图象的特点以及平面图形的直观性进行求解. 例3 设平面点集A= (x,y) (y-x) 0 ,B=(x,y)|(x-1)2+(y-1)2 1,则AB所表示的平面图形的面积为 .,解析 如图,AB所表示的平面图形为图中阴影部分,由对称性知S1与S3 面积相等,S2与S4面积相等. 故S阴影= 12= .,答案,集合中的新概念、新运算问题 解决集合中的新概念、新运算问题时,要关注以下几点: (1)要具有一定的阅读能力,耐心细致读题,理解透题意是解题的关键. (2)紧扣新定义,弄清实质,并能应用到具体的解题过程中. (3)用好集合的性质. 例4 已知有限集A=a1,a2,a3,an(n2).如果A中元素ai(i=1,2,3,n) 满足a1a2an=a1+a2+an,就称A为“复活集”,给出下列结论: 集合 是“复活集”; 若a1,a2R,且a1,a2是“复活集”,则a1a24; 若a1,a2N*,则a1,a2不可能是“复活集”.,其中正确的结论是 (填上所有你认为正确的结论的序号).,解析 易判断是正确的; 不妨设a1+a2=a1a2=t,则由根与系数的关系知a1,a2是一元二次方程x2-tx+ t=0的两个根,由0可得t4,故错; 不妨设A中a1a2a3an,由a1a2an=a1+a2+annan,得a1a2an-1n, 当n=2时,有a12,a1=1,于是1+a2=a2,无解,即不存在满足条件的“复活 集”,故正确.,答案 ,
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