资源描述
第四节 函数y=Asin(x+)的 图象及应用,总纲目录,教材研读,1.用“五点法”画y=Asin(x+)(A,0) 在一个周期内的简图,考点突破,2.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)(A0,0,0)的图象的步骤,考点二 由图象求函数y=Asin(x+)+k的解析式,考点一 函数y=Asin(x+)的图象及变换,3.函数y=Asin(x+)(A0,0,x0,+)的物理意义,考点三 函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用,1.用“五点法”画y=Asin(x+)(A,0)在一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(x+)(A,0)在一个周期内的简图时,一般先列表, 后描点、连线,其中所列表如下:,教材研读,2.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)(A0,0,0)的图象的步骤,3.函数y=Asin(x+)(A0,0,x0,+)的物理意义 (1)振幅为A. (2)周期T= . (3)频率f= = . (4)相位是 x+ . (5)初相是. 注:本节关于函数y=Asin(x+)的一些方法与结论可类比推理到y=Acos (x+)及y=Atan(x+).,1.y=2sin 的振幅、频率和初相分别为 ( ) A.2, ,- B.2, ,- C.2, ,- D.2, ,-,答案 A 由振幅、频率和初相的定义可知,函数y=2sin 的振幅 为2,频率为 ,初相为- .,A,2.将函数y=2sin 的图象向右平移 个周期后,所得图象对应的函 数为 ( ) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin,答案 D 该函数的周期为,将其图象向右平移 个单位后,得到的图 象对应的函数为y=2sin =2sin ,故选D.,D,3.(2016北京朝阳期中)要得到函数y=sin 的图象,只需将函数y= sin 2x的图象 ( ) A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位,答案 B y=sin =sin ,易知将函数y=sin 2x的图象向右 平移 个单位,可得到函数y=sin 的图象.,B,4.(2015北京房山期末)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,为常数,A0,0) 的部分图象如图所示,则 ( ) A.=4,A=1 B.=4,A= C.=2,A=1 D.=2,A=,答案 D 由函数f(x)的图象知f(x)的最小值为- ,所以A= . 因为 = = - = ,所以=2,故选D.,D,5.把y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得 到y=sin x的图象,则的值为 .,答案,解析 由题意得= = .,6.用五点法作函数y=sin 在一个周期内的图象时,主要确定的五个 点是 、 、 、 、 .,答案 ; ; ; ;,解析 分别令x- =0, , ,2,即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为 0,1,0,-1,0).,解析 (1)y=2sin 的振幅A=2, 周期T= =,初相= . (2)令X=2x+ , 则y=2sin =2sin X. 列表:,描点并画出一个周期内的图象: (3)把y=sin x的图象上所有的点向左平移 个单位,得到y=sin 的 图象,再把y=sin 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 (纵,坐标不变),得到y=sin 的图象,最后把y=sin 的图象上所有 点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin 的 图象.,1-1 若将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象 的对称轴为 ( ) A.x= - (kZ) B.x= + (kZ) C.x= - (kZ) D.x= + (kZ),答案 B 将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到函数y=2 sin =2sin 的图象,由2x+ =k+ (kZ),可得x= + (kZ),则平移后图象的对称轴为x= + (kZ),故选B.,B,1-2 (2015北京东城一模)将函数y=sin 的图象向右平移 个单 位长度后,所得到的图象的函数解析式为 .,答案 y=sin 2x,解析 将函数y=sin 的图象向右平移 个单位长度后,所得到的 图象的函数解析式为y=sin ,即y=sin 2x.,y=sin 2x,考点二 由图象求函数y=Asin(x+)+k的解析式,典例2 (2016北京东城期末)已知函数f(x)=sin(x+)(0,02)的图 象在一个周期内的部分对应值如下表:,(1)求f(x)的解析式; (2)求函数g(x)=f(x)+2sin x的最大值和最小值.,解析 (1)由题表可知周期T= - =, 所以= =2. 由图象过点(0,1),得sin(20+)=1, 又02,所以= . 所以f(x)=sin =cos 2x. (2)由(1)知g(x)=f(x)+2sin x =cos 2x+2sin x,=1-2sin2x+2sin x =-2 + . 因为sin x-1,1,所以当sin x= 时, g(x)有最大值 ; 当sin x=-1时,g(x)有最小值-3.,方法技巧 根据函数y=Asin(x+)+k(A0,0)的图象求其解析式时,主要从以下 四个方面来考虑: (1)A的确定:根据图象的最高点和最低点,即A= ; (2)k的确定:根据图象的最高点和最低点,即k= ; (3)的确定:利用图象先求出周期T,然后由T= (0)来确定; (4)的确定:由函数图象的特殊点得到关于的方程,结合的范围确定.,A,答案 A 由题图可知T=2 =2, =1,故舍去C,D选项. 又图象过(0,1),1=sin ,= +2k(kZ). 又-,= ,f(x)=sin . 故选A.,解析 (1)f(x)=sin 2xcos -cos 2xsin =sin ,所以f(x)的最小正周 期T= =. 因为y=sin x图象的对称轴方程为x=k+ ,kZ, 所以令2x- = +k,kZ, 得x= + k,kZ. 故f(x)图象的对称轴方程为x= + k,kZ. (2)因为x ,所以2x0, 所以2x- ,所以当2x- = ,即x= 时, f(x)取得最大值,最大值为1. 所以f(x)在区间 上的最大值为1.,规律总结 函数y=Asin(x+)(A0,0)的常用性质 (1)奇偶性:当=k(kZ)时,函数y=Asin(x+)为奇函数;当=k+ (k Z)时,函数y=Asin(x+)为偶函数. (2)周期性:函数y=Asin(x+)(A0,0)具有周期性,其最小正周期为T= . (3)单调性:根据y=sin x的单调性来研究,由- +2kx+ +2k,kZ 得单调增区间;由 +2kx+ +2k,kZ得单调减区间. (4)对称性:利用y=sin x的对称性来研究,由x+=k(kZ)求得对称中心 的横坐标;由x+=k+ (kZ)得对称轴方程.,3-1 (2016北京朝阳期末)已知函数f(x)=cos2x+ sin xcos x+a的图象过 点 . (1)求实数a的值及函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在 上的最小值.,解析 (1)由f(x)=cos2x+ sin xcos x+a = + +a =sin + +a. 因为函数f(x)的图象过点 , 所以f =sin + +a=1, 解得a=- . 函数f(x)的最小正周期T= = =. (2)由(1)知f(x)=sin .,因为0x , 所以 2x+ . 所以- sin 1. 所以当2x+ = , 即x= 时, 函数f(x)在 上有最小值,最小值为- .,
展开阅读全文