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第七节 函数的图象,总纲目录,教材研读,1.描点法作图,考点突破,2.图象变换,考点二 函数图象的识辨,考点一 作函数的图象,考点三 函数图象的应用,1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的 性质(奇偶性、周期性、单调性、最值,甚至变化趋势);(4)描点连线,画 出函数的图象.,教材研读,2.图象变换 (1)平移变换: (2)伸缩变换: y=f(x) y= f(x) ; y=f(x) y= Af(x) .,(3)对称变换: y=f(x) y= -f(x) ; y=f(x) y= f(-x) ; y=f(x) y= -f(-x) .,函数图象对称变换的相关结论 (1)y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f-1(x)的图象. (2)y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象. (3)y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象. (4)y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.,(4)翻折变换: y=f(x) y= f(|x|) ; y=f(x) y= |f(x)| .,1.函数y=x|x|的图象大致是 ( ),答案 A y=x|x|= 为奇函数,奇函数图象关于原点对称.,A,2.为了得到函数y=2x-2的图象,可以把函数y=2x的图象上所有的点 ( ) A.向右平行移动2个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动2个单位长度 D.向左平行移动1个单位长度,答案 B 因为y=2x-2=2(x-1),所以将函数y=2x的图象上所有的点向右 平行移动1个单位长度即可得到y=2(x-1)=2x-2的图象.故B正确.,B,3.函数y=f(x)的图象是两条直线的一部分(如图所示),其定义域为-1,0) (0,1,则不等式 f(x)-f(-x)-1的解集是 ( ) A.x|-1x1且x0 B.x|-1x0 C. D.,D,答案 D 由图可知, f(x)为奇函数, f(-x)=-f(x), f(x)-f(-x)-12f(x)-1f(x)- -1x- 或0x1.故选D.,4.函数y=f(x)= 的图象大致为 ( ),A,答案 A f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除C、D. 当00, f(x)= 0, 在(0,)上, f(x)的图象在x轴的上方,可排除B. 故选A.,5.(2018北京朝阳期中)已知函数f(x)= 若方程f(x)=m有2个 不相等的实数根,则实数m的取值范围是 .,答案,解析 函数f(x)的图象如图所示,要使方程f(x)=m有2个不相等的实数,即 函数f(x)的图象与函数y=m的图象有2个不同的交点,只需1m . 所以实数m的取值范围是 .,考点突破,解析 (1)y= 的图象如图. (2)将y=2x的图象向左平移2个单位即可得到y=2x+2的图象,如图. (3)y= 的图象如图. (4)y= =1+ ,先作出y= 的图象, 将其图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位, 即得y= 的图象,如图.,方法技巧 函数图象的常见画法 (1)直接法.当函数(或变形后的函数)是熟悉的基本函数时,或当易发现 函数的图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线 的一部分)时,可根据这些熟悉的函数或曲线的特征直接作出. (2)利用图象变换.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻 折、对称得到,则可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接 找到基本函数的要先变形. (3)描点法.当上面两种方法都失效时,可采用描点法.为了描少量点就能 得到比较准确的图象,常常需要判断函数的单调性、奇偶性. 注意变形的等价性,不要扩大或缩小变量的取值范围.,1-1 作出下列函数的图象. (1)y=|x-2|(x+1); (2)y=|log2(x+1)|.,解析 (1)当x-20,即x2时, y=(x-2)(x+1)=x2-x-2= - ; 当x-20,即x2时, y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=- + . y= 函数图象如图所示.,(2)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻 折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图所示.,答案 A,解析 因为f (x)=2+cos x0,所以函数f(x)单调递增,因此选A.,A,典例3 (2017北京海淀二模)函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式 可以为 ( ) A. f(x)= -x2 B. f(x)= -x3 C. f(x)= -ex D. f(x)= -ln x,C,答案 C,解析 y= 在(-,0)和(0,+)上是减函数, y=ex是增函数, 对于C, f(x)= -ex在(-,0)和(0,+)上是减函数,与图象相符. 对于A,取x=-10和x=-1, f(-10)f(-1),与图象不符. 对于B, f(-1)=0,与图象不符. 对于D, f(x)的定义域为(0,+),与图象不符. 故选C.,方法技巧 函数图象识辨的常用方法 函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)由函数的定义域判断图象的左右位置;由函数的值域判断图象的上 下位置; (2)由函数的单调性判断图象的变化趋势; (3)由函数的奇偶性判断图象的对称性; (4)由函数的周期性识辨图象; (5)由函数的特征点排除不符合要求的图象.,2-1 函数f(x)= 的大致图象是 ( ),B,答案 B 由函数解析式可得f(x)为偶函数,当|x|1时, f(x)= =y 0,即x2+y2=1(y0),当x1时, f(x)= ,其图象在第一象限单调递减,故选 B.,考点三 函数图象的应用 命题角度一 利用图象研究不等式,典例4 (2015北京,7,5分)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x) log2(x+1)的解集是 ( ) A.x|-1x0 B.x|-1x1 C.x|-1x1 D.x|-1x2,C,答案 C,解析 作出函数y=log2(x+1)的图象,如图所示: 其中函数 f(x)与y = log2(x+1)的图象的交点为D (1,1),由图象可知 f(x) log2(x+1)的解集为x|-1x1,故选C.,命题角度二 利用图象研究函数零点个数 典例5 (2017北京朝阳期末)已知函数 f(x)= 则函数 g(x)= f(f(x)- 的零点个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1,B,B,答案 B,解析 由题意得f(x)= 在平面直角坐标系内作出其图象如 图所示, 由图象易知,若直线y=a与函数f(x)的图象恰有两个交点,则a的取值范围 是0,2),故选B.,方法技巧 (1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,如判断方程是否 有解,有多少个解. (2)利用图象,可观察函数的单调性、定义域、值域、最值等.,3-1 已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实 根,则实数k的取值范围是 ( ) A. B. C.(1,2) D.(2,+),B,答案 B f(x)= 如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA= . 要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个 交点,由图可知, k1.,3-2 (2016北京西城期末)已知函数f(x)的部分图象如图所示,若不等式- 2f(x+t)4的解集为(-1,2),则实数t的值为 .,答案 1,解析 由题图可知,-2f(x)4的解集为(0,3), 不等式-2f(x+t)4的解集为(-1,2), y=f(x+t)的图象是由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到的,t=1.,1,
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