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,14.4 不等式选讲,课时1 不等式的证明,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.不等式证明的方法 (1)比较法： 作差比较法： 知道abab0，ab只要证明 即可，这种方法称为作差比较法. 作商比较法： 由ab0 1且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明 即可，这种方法称为作商比较法.,ab0,知识梳理,1,答案,(2)综合法： 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“ ”的方法. (3)分析法： 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“ ”的方法.,由因导果,执果索因,答案,(4)反证法和放缩法： 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法. 在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法.,(5)数学归纳法： 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： 证明当nn0时命题成立； 假设当nk (kN*，且kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.,2.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式： 柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2) (当且仅当adbc时，等号成立). 柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，等号当且仅当，共线时成立.,(acbd)2,答案,(2)算术几何平均不等式,答案,解 根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，,考点自测,2,解析答案,1,2,3,(121212)(abc)3.,解析答案,1,2,3,解 x0，y0，,1,2,3,解析答案,返回,题型分类 深度剖析,证明 因为x0，y0，xy0，,题型一 用综合法与分析法证明不等式,解析答案,只需证明(abc)23. 即证：a2b2c22(abbcca)3， 而abbcca1， 故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca). 即证：a2b2c2abbcca.,所以原不等式成立.,解析答案,思维升华,用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.,思维升华,设a、b、c均为正数，且abc1，证明：,证明 由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac 得a2b2c2abbcca. 由题设得(abc)21， 即a2b2c22ab2bc2ca1. 所以3(abbcca)1，,解析答案,跟踪训练1,解析答案,证明 当|ab|0时，不等式显然成立. 当|ab|0时，,题型二 放缩法证明不等式,解析答案,思维升华,(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧. 常见的放缩变换有：,利用函数的单调性；,(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.,思维升华,证明 由2nnkn(k1,2，n)，,跟踪训练2,原不等式成立.,解析答案,例3 已知x，y，z均为实数.,(121212)(3x13y23z3)27.,题型三 柯西不等式的应用,解析答案,(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值.,解析答案,思维升华,(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.,思维升华,跟踪训练3,解析答案,返回,证明 由柯西不等式及题意得，,返回,思想方法 感悟提高,证明不等式的方法和技巧： (1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等. (2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解.多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据.,(3)在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立. (4)柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件.,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.已知xy1，求2x23y2的最小值.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,解 由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,又abc0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,6.已知a，b，cR，且2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值.,解 由柯西不等式得 (441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32， 9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2. 2a2bc8，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,证明：(1)ab2； (2)a2a2与b2b2不可能同时成立.,(2)假设a2a2与b2b2同时成立， 则由a2a2及a0得0a1； 同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾. 故a2a2与b2b2不可能同时成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.(1)关于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，求a的取值范围；,解 |x3|x4|(x3)(x4)|1，且|x3|x4|1，即a的取值范围是(1，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,解 由柯西不等式，得,即251(xyz)2. 5|xyz|，5xyz5. xyz的取值范围是5,5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,10.已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，).,解 因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,返回,证明 方法一 由a，b(0，)，ab1， x1，x2(0，)，及柯西不等式可得：,所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,方法二 因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)， 所以(ax1bx2)(ax2bx1),x1x2(a2b2)ab(2x1x2)x1x2(a2b22ab) x1x2(ab)2x1x2， 当且仅当x1x2时，取得等号. 所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,返回,
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