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,第5节 直线、平面垂直的判定与性质,基 础 梳 理,1直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面内的 一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直,任意,(2)直线与平面垂直的判定定理,两条相,交直线,(3)直线与平面垂直的性质定理,平行,ab,2.直线与平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的_所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角 如图， _ 就是斜线AP与平面所成的角 (2)线面角的范围：_,射影,锐角,PAO,3二面角、平面与平面垂直 (1)二面角 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱两个半平面叫做二面角的面 如图，记作：二面角l或二面角AB或二面角PABQ.,二面角的平面角：在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角,(2)平面与平面的垂直 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直 平面与平面垂直的判定定理,直二面角,平面与平面垂直的性质定理,质疑探究：若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则吗？ 提示：不一定，若这无数条直线都平行，则得不到内的这条直线垂直于，从而得不到.,2(2014山东青岛模拟)已知l，m，n为不同的直线，、为不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A若lm，ln，且m，n，则l B若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C若m，mn，则n D若mn，n，则m 解析：根据线面垂直的性质可知，选项D正确 答案：D,3在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( ) A30 B45 C60 D90,4m、n是空间中两条不同直线，、是两个不同平面，下面有四个命题： m，n，mn；mn，mn； mn，mn；m，mn，n. 其中，所有真命题的编号是_,解析：中，由n，得n或n， 又m，mn，故正确； 中，也可能n，故错误； 中，直线n也可能与平面斜交或平行，也可能在平面内，故错； 中，由mn，m，可得n，又可得n，故正确 答案：,考 点 突 破,例1 (2013年高考江西卷)如图所示，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3. (1)证明：BE平面BB1C1C； (2)求点B1到平面EA1C1的距离,直线与平面垂直的判定与性质,思维导引 (1)证明BE垂直于平面BB1C1C内的两条相交直线； (2)利用VB1EA1C1VEA1B1C1求解,在BEC中，因为BE2BC29EC2，故BEBC. 由BB1平面ABCD得BEBB1. 所以BE平面BB1C1C.,证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理 (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直” (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直” (4)利用面面垂直的性质,即时突破1 如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点 (1)求证：MNCD； (2)若PDA45，求证：MN平面PCD.,(2)连接PM、CM， PDA45，PAAD，APAD. 四边形ABCD为矩形， ADBC，PABC. 又M为AB的中点， AMBM，而PAMCBM90， PAMCBM， PMCM.,又N为PC的中点， MNPC. 由(1)知，MNCD，PCCDC， MN平面PCD.,例2 (2013年高考北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别为CD和PC的中点，求证： (1)PA底面ABCD； (2)BE平面PAD； (3)平面BEF平面PCD.,平面与平面垂直的判定与性质,思维导引 (1)利用面面垂直的性质定理证线面垂直 (2)证明BE平行于平面PAD内的一条直线即可得BE平面PAD. (3)证明平面PCD内的直线CD与平面BEF垂直，可得两平面垂直,证明 (1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA底面ABCD. (2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点， 所以ABDE，且ABDE. 所以ABED为平行四边形 所以BEAD. 又因为BE平面PAD，AD平面PAD， 所以BE平面PAD.,(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形 所以BECD，ADCD， 由(1)知PA底面ABCD. 所以PACD.又ADPAA， 所以CD平面PAD.所以CDPD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PDEF. 所以CDEF.又EFBEE， 所以CD平面BEF.又CD平面PCD， 所以平面BEF平面PCD.,(1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90) 面面垂直的判定定理(a，a) (2)三种垂直关系的转化,(3)面面垂直性质的应用 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线” 两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面,即时突破2 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ACBDO. (1)若ACPD，求证：AC平面PBD; (2)若平面PAC平面ABCD，求证：PBPD.,证明：(1)因为底面ABCD是菱形，所以ACBD. 又因为ACPD，PDBDD，所以AC平面PBD. (2)由(1)知ACBD. 因为平面PAC平面ABCD，平面PAC平面ABCDAC，BD平面ABCD， 所以BD平面PAC. 因为PO平面PAC，所以BDPO. 因为底面ABCD是菱形， 所以BODO，所以PBPD.,空间角的求法,(1)证明 在PAD中，由题设PA2，AD2，PD2， 可得PA2AD2PD2，于是ADPA. 在矩形ABCD中，ABAD， 又PAABA，所以AD平面PAB.,(3)解 如图所示，过点P作PHAB于H，过点H作HEBD于E，连接PE. 因为AD平面PAB，PH平面PAB， 所以ADPH.又ADABA， 所以PH平面ABCD， 故HE为PE在平面ABCD内的射影， BDPE.从而PEH是二面角PBDA的平面角,空间角中的难点是二面角，作二面角的平面角的常用方法有： 直接法：根据平面角的概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点； 垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角；, 垂线法：过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面的垂线，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC，连结AC，则AC也与二面角的棱垂直，ACB就是二面角的平面角或其补角，这样就把问题归结为解一个直角三角形，是求解二面角最基本、最重要的方法,即时突破3 (2014广东江门调研)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，E为BC的中点，BADADC90，AB3，CD1，PAAD2. (1)求证：DE平面PAC； (2)求PA与平面PDE所成角的正弦值,(2)由(1)知平面PDE平面PAC， 连接PG，在RtPAG中作AHPG，垂足为H，则 AH平面PDE，所以APH是PA与平面PDE所成的角，,典例 (12分)(2013年高考山东卷，理18)如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D、C、E、F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH. (1)求证：ABGH； (2)求二面角DGHE的余弦值,法二 在ABQ中， AQ2BD，ADDQ， 所以ABQ90. 6分 又PB平面ABQ， 7分 所以BA，BQ，BP两两垂直 以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 8分,
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