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,第二章 函数与基本初等函数,1了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性 2掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题,请注意 函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度,1奇函数、偶函数、奇偶性 对于函数f(x)，其定义域关于原点对称： (1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就是奇函数； (2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就是偶函数； (3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性,f(x)f(x),f(x)f(x),2证明函数奇偶性的方法步骤 (1)确定函数定义域关于 对称； (2)判定f(x)f(x)(或f(x)f(x)，从而证得函数是奇(偶)函数,原点,3奇偶函数的性质 (1)奇函数图像关于 对称，偶函数图像关于 对称； (2)若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0) ； (3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ； 若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 (4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)f(|x|)，反之也成立,y轴,0,一致,相反,原点,4一些重要类型的奇偶函数 (1)函数f(x)axax为 函数，函数f(x)axax为 函数；,偶,奇,奇,奇,奇,5周期函数 若f(x)对于定义域中任意x均有 (T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数 6函数的对称性 若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)f(2ax)，或f(ax)f(ax)，则函数f(x)关于 对称,f(xT)f(x),xa,1判断下列说法是否正确(打“”或“”) (1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点 (2)函数f(x)0，x(0，)即是奇函数又是偶函数 (3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称 (4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称,(6)若函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6),答案 D,3(2014新课标全国)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 答案 C 解析 利用函数奇偶性的定义求解A项，令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A错,B项，令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x) |f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B错 C项，令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函数，C正确D项，令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，D错,4若函数yf(x)(xR)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数yf(x)图像上的是( ) A(a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a) 答案 B 解析 函数yf(x)为奇函数，f(a)f(a) 即点(a，f(a)一定在函数yf(x)的图像上,答案 3,例1 判断下列函数的奇偶性，并证明 (1)f(x)x3x； (2)f(x)x3x1； (3)f(x)x2|x|1，x1,4； (4)f(x)|x1|x1|；,题型一 判断函数的奇偶性,【解析】 (3)由于f(x)x2|x|1，x1,4的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数 (4)函数的定义域x(，)，关于原点对称 f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)， f(x)|x1|x1|是奇函数,【答案】 (1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶 (4)奇函数 (5)奇函数 (6)偶函数,探究1 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： (1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(x)是否等于f(x) (2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称 (3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域),判断下列函数的奇偶性,思考题1,(3)方法一：f(x)的定义域为R， 当x0时，x0， f(x)(x)22(x)x22xf(x) 当x0时，f(0)0f(0) 当x0时，x0， f(x)(x)22(x)x22xf(x) 对于xR总有f(x)f(x) f(x)为偶函数,方法二：当x0时，f(x)x22xx22|x|. 当x0时，f(x)x22xx22|x|. f(x)x22|x|. f(x)(x)22|x|x22|x|f(x) f(x)为偶函数 【答案】 (1)奇函数 (2)奇函数 (3)偶函数,例2 (1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x0时，f(x)x1，f(x)的解析式为_ (3)若函数f(x1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为_,题型二 奇偶性的应用,【解析】 (1)f(x)为奇函数，f(x)f(x) 当x0时，有f(0)f(0)，f(0)0. 当x0时，x0. f(x)f(x)(x1)x1.,(3)f(x1)为偶函数， 函数g(x)f(x1)的图像关于直线x0对称 又函数f(x)的图像是由函数g(x)f(x1)的图像向右平移一个单位而得到， 函数f(x)的图像关于直线x1对称,探究2 奇偶函数的性质主要体现在： (1)若f(x)为奇函数，则f(x)f(x)； 若f(x)为偶函数，则f(x)f(x) (2)奇偶函数的对称性 (3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性,(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在0，)上是减函数，则满足f().即a0. 由上述两种情况知a(，) 【答案】 (，),思考题2,(2)若函数yf(x2)为奇函数，则函数yf(x)的图像的对称中心为_ 【解析】 f(x2)为奇函数， f(x2)的图像的对称中心为(0,0) 又f(x)的图像可由函数f(x2)的图像向左平移两个单位而得， f(x)的图像的对称中心为(2,0) 【答案】 (2,0),例3 设函数f(x)在(，)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0. (1)证明：函数f(x)为周期函数； (2)试求方程f(x)0在闭区间2 005,2 005上的根的个数，并证明你的结论 【思路】 用周期函数的定义证明,题型三 函数的周期性,(2)f(3)f(1)0, f(11)f(13)f(7)f(9)0，故f(x)在0,10和10,0上均有两个解 从而可知函数yf(x)在0,2 005上有402个解， 在2 005,0上有400个解， 所以函数yf(x)在2 005,2 005上有802个解 【答案】 (1)略 (2)802个,探究3 (1)证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义 (2)若函数f(x)对任意x满足f(xa)f(xb)，则f(x)为周期函数若函数f(x)对任意x满足f(xa)f(bx)，则函数图像为轴对称图形,思考题3,f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5) 22.53，由题意，得f(2.5)2.5. f(105.5)2.5. 【答案】 2.5,(2)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意xR，都有f(x8)f(x)f(4)，且x0,4时，f(x)4x，则f(2 015)的值为_ 【解析】 f(4)0，f(x8)f(x)，T8. f(2 015)f(7)f(1)f(1)3. 【答案】 3,例4 已知f(x)为偶函数，且f(1x)f(1x)，当x0,1时，f(x)x1，求x5,7时，f(x)的解析式 【解析】 方法一：f(1x)f(1x)， f(x)f(2x)，f(x)为周期函数，T2. f(x)为偶函数， x1,0时，x0,1 f(x)f(x)x1. x5,6时，x61,0,f(x)f(x6)(x6)1x5. x6,7时，x60,1 f(x)f(x6)(x6)1x7.,方法二：f(1x)f(1x)， T2.又f(x)是偶函数， f(x)在R上的图像如图：,探究4 高考中对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解,设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x2,4时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 015) 【解析】 (1)f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x) f(x)是周期为4的周期函数,思考题4,(2)当x2,0时，x0,2，由已知得 f(x)2(x)(x)22xx2. 又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2. f(x)x22x. 又当x2,4时，x42,0， f(x4)(x4)22(x4) 又f(x)是周期为4的周期函数， f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8. 从而求得x2,4时，f(x)x26x8.,(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1. 又f(x)是周期为4的周期函数， f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7) f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0. f(0)f(1)f(2)f(2 015)0. 【答案】 (1)略 (2)f(x)x26x8，x2,4 (3)0,常用结论记心中，快速解题特轻松： 1(1)若f(x)定义域不对称，则f(x)不具有奇偶性 (2)若f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0. (3)若f(x)为偶函数，则f(|x|)f(x),(2)若函数yf(x)的定义域关于原点对称，则f(x)f(x)为偶函数，f(x)f(x)为奇函数，f(x)f(x)为偶函数 3函数f(x)关于xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x)f(2ax)f(x) 4(1)若函数f(x)满足f(xa)f(x)，则f(x)周期T2a.,5(1)若f(x)关于xa，xb都对称，且ab，则f(x)是周期函数且T2(ba) (2)若f(x)关于(a,0)，(b,0)都对称，且ab，则f(x)是周期函数，且T2(ba) (3)若f(x)关于(a,0)及xb都对称，且ab，则f(x)是周期函数，且T4(ba),1对于定义在R上的任意奇函数f(x)，均有( ) Af(x)f(x)0 Bf(x)f(x)0 Cf(x)f(x)0 Df(x)f(x)0 答案 D 解析 f(x)f(x)，f(x)f(x)f2(x)0.,2下列函数中，不具有奇偶性的函数是( ) 答案 D,3(2015衡水调研卷)函数f(x)在定义域R上不是常数函数，且f(x)满足：对任意xR，都有f(2x)f(2x)，f(1x)f(x)，则f(x)是( ) A奇函数但非偶函数 B偶函数但非奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 答案 B,解析 依题意，得f(x2)f(x1)f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，所以f(x2)f(x)又f(2x)f(2x)，因此有f(x)f(x)，即f(x)是偶函数；若f(x)是奇函数，则有f(x)f(x)f(x)，得f(x)0，这与“f(x)不是常数函数”相矛盾，因此f(x)是偶函数但不是奇函数，选B.,答案 C,答案 ,6(2014新课标全国)已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_ 答案 (1,3) 解析 由题可知，当20.f(x1)的图像是由f(x)的图像向右平移1个单位长度得到的，若f(x1)0，则1x3.,
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