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第二章 函数概念与基本初等函数 I,2.8 函数与方程,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数yf(x)(xD)，把使函数yf(x)的值为0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x)有 .,x轴,零点,知识梳理,1,答案,(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且 ，那么，函数yf(x)在区间_上有零点，即存在c(a，b)，使得_，这个_也就是方程f(x)0的根. 2.二分法 对于在区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.,f(a)f(b)0,(a，b),f(c)0,c,f(a)f(b)0,零点,答案,3.二次函数yax2bxc (a0)的图象与零点的关系,(x1,0)，(x2,0),(x1,0),2,1,0,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( ) (2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( ) (4)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点.( ) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点.( ),答案,思考辨析,1.(教材改编)函数f(x)ex3x的零点个数是_.,f(x)在(1,0)内有零点， 又f(x)为增函数， 函数f(x)有且只有一个零点.,1,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.若x1，x2是方程 的两个实根，则x1x2_. 解析,1,x1x21.,解析答案,1,2,3,4,5,3.函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为_.,由图象知两函数图象有2个交点， 故函数f(x)有2个零点.,2,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析 当x2时，g(x)x1，f(x)(x2)2； 当0x2时，g(x)3x，f(x)2x； 当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x50，,当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x3x，无解； 当x0时，方程f(x)g(x)0可化为x2x10，其根为,所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2. 答案 2,1,2,3,4,5,5.函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_. 解析 函数f(x)的图象为直线，由题意可得 f(1)f(1)0， (3a1)(1a)0，,解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,题型一 函数零点的确定,命题点1 函数零点所在的区间,x0(2,3).,2,解析答案,命题点2 函数零点个数的判断,所以f(x)在(0，)上是增函数. 又因为f(2)2ln 20， 所以f(x)在(0，)上有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2.,2,所以在(，0上有一个零点.,解析答案,(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是_. 解析 由题意知，f(x)是周期为2的偶函数. 在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象，如图： 观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数yf(x)log3|x|有4个零点.,4,解析答案,命题点3 求函数的零点,例3 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为_.,解析答案,思维升华,解析 当x0时，f(x)x23x， 令g(x)x23xx30，得x13，x21. 当x0， f(x)(x)23(x)， f(x)x23x，f(x)x23x. 令g(x)x23xx30，,思维升华,(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.,思维升华,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).,跟踪训练1,解析答案,(2)函数 的零点个数为_.,解析答案,f(0)f(1)0， 故函数f(x)在(0,1)至少存在一个零点， 又f(x)显然为增函数， f(x)零点个数为1. 答案 1,所以零点只有一个.,题型二 函数零点的应用,例4 若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围.,解析答案,思维升华,解 方法一 (换元法) 设t2x (t0)，则原方程可变为t2ata10，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根. 令f(t)t2ata1. 若方程(*)有两个正实根t1，t2，,解析答案,思维升华,若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)， 则f(0)a10，解得a1； 若方程(*)有一个正实根和一个零根，,解析答案,思维升华,思维升华,思维升华,对于“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域来解决，解的个数可化为函数yf(x)的图象和直线ya交点的个数.,则有f(1)f(2)0， 所以(a)(41a)0， 即a(a3)0. 所以0a3.,(0,3),跟踪训练2,解析答案,解析 画出函数f(x)的图象如图所示，,观察图象可知，若方程f(x)a0有 三个不同的实数根， 则函数yf(x)的图象与直线ya 有3个不同的交点， 此时需满足0a1.,(0,1),解析答案,题型三 二次函数的零点问题,例5 已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.,解析答案,思维升华,解 方法一 设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)， 则(x11)(x21)0， x1x2(x1x2)10， 由根与系数的关系，得(a2)(a21)10， 即a2a20， 2a1.,解析答案,思维升华,方法二 函数图象大致如图， 则有f(1)0， 即1(a21)a20， 2a1. 故实数a的取值范围是(2,1).,思维升华,解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.,思维升华,若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_.,跟踪训练3,解析答案,返回,易错警示系列,典例 定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)2 016xlog2 016x，则在R上函数f(x)的零点个数为_. 易错分析 得出当x0时的零点个数后，容易忽略条件：定义在R上的奇函数，导致漏掉x0时和x0时的情况.,易错警示系列,3.忽视定义域导致零点个数错误,易错分析,解析答案,返回,温馨提醒,可知它们只有一个交点， 所以当x0时函数只有一个零点. 由于函数为奇函数， 所以当x0时，也有一个零点. 又当x0时y0， 所以共有三个零点. 答案 3,解析 当x0时，由f(x)2 016xlog2 016x0得,作出函数y2 016x与函数,的图象，,温馨提醒,温馨提醒,返回,(1)讨论x0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定.(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视.,思想方法 感悟提高,1.函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理； (2)数形结合：函数yf(x)g(x)的零点，就是函数yf(x)和yg(x)图象交点的横坐标. (3)解方程. 2.二次函数的零点可利用求根公式、判别式、根与系数的关系或结合函数图象列不等式(组). 3.利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法.,方法与技巧,1.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象. 2.判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由图象可知，若函数yf(x)m有3个零点， 则0m1， 因此m的取值范围是(0,1).,(0,1),解析答案,2.函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为_. 解析 由f(x)xcos x20，得x0或cos x20. 又x0,4，所以x20,16.,6,故零点个数为156.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 当x1时，由f(x)2x10，解得x0； 当x1时，由f(x)1log2x0，,又因为x1，所以此时方程无解. 综上函数f(x)的零点只有0.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.方程|x22x|a21(a0)的解的个数是_. 解析 (数形结合法) a0， a211. 而y|x22x|的图象如图， y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,5.偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且当x0,1时，f(x)x1，则关于x的方程f(x)lg(x1)在x0,9上解的个数是_. 解析 依题意得f(x2)f(x)， 所以函数f(x)是以2为周期的函数. 在平面直角坐标系中画出函数yf(x)的 图象与ylg(x1)的图象(如图所示)， 观察图象可知，这两个函数的图象在区间 0,9上的公共点共有9个， 因此，当x0,9时，方程f(x)lg(x1)的解的个数是9.,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,6.已知函数f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为_. 解析 ax2x在(0,1)上有解，,(2,0),函数yx2x，x(0,1)的值域为(0,2)， 0a2，2a0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,f(x)x2x6. 不等式af(2x)0， 即(4x22x6)02x2x30，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 f(x)x2axb的两个零点是2,3. 2,3是方程x2axb0的两根，,由于函数g(x)f(x)m有3个零点， 结合图象得：0m1，即m(0,1).,(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 如图所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,故f(x)在(0,1上是减函数， 而在(1，)上是增函数. 由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围. 解 由函数f(x)的图象可知， 当0m1时，方程f(x)m有两个不相等的正根.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,10.关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 方法一 设f(x)x2(m1)x1，x0,2， 若f(x)0在区间0,2上有一解， f(0)10，则应有f(2)0， 又f(2)22(m1)21，,若f(x)0在区间0,2上有两解，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,由可知m的取值范围是(，1.,方法二 显然x0不是方程x2(m1)x10的解，,1m2，m1， 故m的取值范围是(，1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知函数f(x)e|x|x|，若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_. 解析 方程f(x)k化为方程e|x|k|x|， 令ye|x|，yk|x|，如图， yk|x|表示斜率为1或1的平行折线系， 折线与曲线ye|x|恰好有一个公共点时，有k1， 若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根， 则实数k的取值范围是(1，).,(1，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,12.函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_. 解析 由于ln 21， 所以f(3)0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内， 故n2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 函数g(x)f(x)k有两个零点， 即f(x)k0有两个解， 即yf(x)与yk的图象有两个交点. 分k0和k1或k0时，没有交点， 故当0k1时满足题意.,(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 函数g(x)有两个零点， 即方程f(x)b0有两个不等实根， 则函数yf(x)和yb的图象有两个公共点. 若aa时，f(x)x2，函数先单调递减后单调递增， f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点.,解析答案,若a1，则a3a2， 函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示， 其与直线yb可能有两个公共点. 综上，a1. 答案 (，0)(1，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,若0a1，则a3a2， 函数f(x)在R上单调递增， f(x)的图象如图(2)实线部分所示， 其与直线yb至多有一个公共点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,
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