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最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.,第4讲 离散型随机变量及其分布列,1离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为_，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_随机变量 2离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，则表,知 识 梳 理,随机变量,离散型,称为离散型随机变量X的_ (2)离散型随机变量的分布列的性质： pi0(i1，2，n)；_1,概率分布列,p1p2pn,3常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 ，其中pP(X1)称为成功概率 (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n 件，其中恰有X件次品，则P(Xk)_，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称随机变量X服从超几何分布.,1判断正误(请在括号中打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量 ( ) (2)如果随机变量X的分布列由下表给出， 则它服从两点分布 ( ) (3)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1. ( ) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布 ( ),诊 断 自 测,2袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是 ( ) A至少取到1个白球 B至多取到1个白球 C取到白球的个数 D取到的球的个数 解析 选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2. 答案 C,3设随机变量X的分布列如下表所示，则p4的值是 ( ),4已知随机变量X的分布列为： 若Y2X3，则P(1Y5)_ 解析 1Y5，即12X35， 所以2X4，故P(1Y5)P(2X4)P(X3)P(X4)0.40.20.6. 答案 0.6,5(人教A选修23P48例3改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为_,考点一 离散型随机变量分布列的性质,规律方法 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数 (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式,【训练1】 设X是一个离散型随机变量，其分布列为： 则q等于 ( ) 答案 C,考点二 求离散型随机变量的分布列 【例2】 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同) (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率； (2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列,规律方法 (1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的分布列(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识,【训练2】 在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X|x2|yx|. (1)求随机变量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率； (2)求随机变量X的分布列 解 (1)由题意知，x，y可能的取值为1，2，3， 则|x2|1，|yx|2， 所以X3，且当x1，y3或x3，y1时，X3. 因此，随机变量X的最大值为3. 而有放回地抽两张卡片的所有情况有339(种)，,(2)X的所有取值为0，1，2，3. 当X0时，只有x2，y2这一种情况， 当X1时，有x1，y1或x2，y1或x2，y3或 x3，y3四种情况， 当X2时，有x1，y2或x3，y2两种情况,考点三 超几何分布 【例3】 (2014天津卷节选)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列,所以随机变量X的分布列是,规律方法 对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不同类别的小球等概率模型,【训练3】 (2015哈尔滨调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物根据现行国家标准GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：,(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3 天，求恰有一天空气质量达到一级的概率； (2)从这10天的数据中任取3天数据记X表示抽到PM2.5监 测数据超标的天数，求X的分布列,所以随机变量X的分布列为,思想方法 1对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率 2求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率,易错防范 掌握离散型随机变量的分布列，须注意： (1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率 (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误 (3)超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算,
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