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第二节 直线的交点坐标与距离公式,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)两直线的交点.,唯一解,无解,有无数组解,(2)三种距离. 两点间的距离:点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|= _. 点到直线的距离:点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 d=_. 两条平行线间的距离:两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间 的距离d=_.,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)点P(x0,y0)关于A(a,b)的对称点为P_. (2)设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P(x,y), 则有 可求出x,y.,(2a-x0,2b-y0),3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:代数法、待定系数法、参数法. (2)数学思想:方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想.,(3)记忆口诀: 点到直线距离公式 已知定点与直线,求距离做三件事. 建立垂线的方程,联立垂足可得知. 两点坐标已确定,距离公式去求值. 如此求解太烦琐,一定要把公式记. 坐标代入线方程,加绝对值当分子. 系数平方和开方,公式分母即为此.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.( ) (2)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 .( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距 离.( ),(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可 以看做是两条直线上各取一点的最短距离.( ) (5)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k0)对称,则直线AB的斜率等于- , 且线段AB的中点在直线l上.( ),【解析】(1)错误,当方程组有唯一解时两条直线相交,若方程组有无 穷多个解,则两条直线重合. (2)错误,应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式,即 点P到直线的距离为 . (3)正确,因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长,即点到直 线的距离.,(4)正确.两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长,即两 条直线上各取一点的最短距离. (5)正确.根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB.所 以直线AB的斜率等于- ,且线段AB的中点在直线l上. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修2P110B组T1改编)直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的值为 .,【解析】解方程组 所以直线2x-y=-10与y=x+1的交点坐标为(-9,-8), 代入y=ax-2,得-8=a(-9)-2, 所以a= . 答案:,(2)(必修2P110B组T4改编)已知点A(3,2)和B(-1,4)到直线ax+y+1=0 的距离相等，则a的值为_. 【解析】由点到直线的距离公式可知 解得a=-4或 答案：-4或,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2015北京模拟)经过两条直线3x+4y-5=0和3x-4y-13=0的交点，且斜率为2的直线方程是( ) A.2x+y-7=0 B.2x-y-7=0 C.2x+y+7=0 D.2x-y+7=0,【解析】选B.由 所以交点坐标为(3,-1), 故经过两条直线3x+4y-5=0和3x-4y-13=0的交点，且斜率为2的直线方程是y+1=2(x-3),即2x-y-7=0.故选B.,(2)(2013湖南高考)在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA反射后又回到原点P(如图).若光线QR经过ABC的重心，则AP等于( ) A2 B1 C D,【解析】选D.由题意，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立平面直角 坐标系，设AP=m, 则P(m,0),A(0，0),B(4,0)，C(0,4),直线BC的方程为x+y=4，则点P 关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4m)，点P关于直线AC的对称点 P2的坐标为(m,0)，而三角形ABC的重心为 根据光学性质知 点P1，P2，G三点共线，则 解之得 故,(3)(2013四川高考)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5), C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是 . 【解题提示】分析已知条件可知四边形ABCD是凸四边形,要求的点需要到四点的距离之和最小,可知该点应是AC与BD的交点. 【解析】由题可知A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1),四边形ABCD的对角线的交点到四点的距离之和最小,直线AC的方程为2x-y=0,直线BD的方程为x+y-6=0,所以其交点为(2,4). 答案:(2,4),考点1 直线的交点 【典例1】(1)(2015滨州模拟)当0k 时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)过点P(3,0)作一直线l,使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的线段AB以P为中点,求此直线l的方程.,【解题提示】(1)可由两直线方程求出交点坐标,再判断横坐标和纵坐标的符号即可. (2)可设出直线方程并求出其与l1,l2的交点,然后利用中点坐标公式解决.,【规范解答】(1)选B.解方程组 得两直线的交点坐标为 因为0k ，所以 故交点在第二象限. (2)当直线l的斜率不存在时，直线l为x=3，则l与l1,l2的交点分别为(3，4)，(3，-6)，此时P点不是AB的中点，故直线l的斜率存在. 设直线l的方程为y=k(x-3), 将此方程分别与l1,l2的方程联立，,解之，得 因为P(3,0)是线段AB的中点，由xA+xB=6得 解得k=8. 故直线l的方程为y=8(x-3), 即8x-y-24=0.,【规律方法】 1.两直线交点的求法 求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点. 2.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.,【变式训练】(2015重庆模拟)已知两条直线l1:y=2,l2:y=4,设曲线y=3x与l1,l2分别交于点A,B,曲线y=7x与l1,l2分别交于点C,D,求直线AB与直线CD的交点坐标.,【解析】依题意得A(log32,2),B(2log32,4)，则直线AB的方程为 同理，C(log72,2)，D(2log72,4),则直线CD的方程为 即直线AB与直线CD的交点坐标为(0,0).,【加固训练】经过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点，且也经过点A(8,-4)的直线方程为_.,【解析】由 即两直线的交点坐标为(-2,1). 又因为直线过点A(8,-4), 所以 故所求直线方程为y-(-4)=- (x-8),整理得x+2y=0. 答案：x+2y=0,考点2 对称问题 【典例2】(1)平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是( ) A.y=2x-1 B.y=-2x+1 C.y=-2x+3 D.y=2x-3 (2)光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在的直线方程.,【解题提示】(1)可在直线y=2x+1上任取两点,求出这两点关于点(1,1)的对称点坐标,最后求出直线方程. (2)画出示意图,根据光的反射原理及点关于直线的对称问题求解.,【规范解答】(1)选D.在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则 点A关于点(1,1)对称的点M(2,1),B关于点(1,1)对称的点N(1,-1).由 两点式求出对称直线MN的方程 即y=2x-3,故选D.,(2)作出草图,如图所示,设A关于直线y=x的对称点为A,D关于y轴的对称点为D, 则易得A(-2,-4),D(1,6).由入射角等于反射 角可得AD所在直线经过点B与C. 故BC所在的直线方程为 即10x-3y+8=0.,【易错警示】解答题(2)有三点容易出错: (1)不能正确画出草图,找不到正确的解题思路而感觉无从下手. (2)不能将直线BC的方程转化为直线AD的方程,从而无法求解. (3)对称点求解错误.,【互动探究】在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x-y=0 对称”,则结果如何? 【解析】在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于直线 x-y=0的对称点M(1,0),B关于直线x-y=0的对称点N(3,1).由两点式求 出直线MN的方程 即x-2y-1=0.,【规律方法】 1.中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称:若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点 坐标公式得 进而求解.,(2)直线关于点的对称,主要求解方法是: 在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程; 求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.,2.轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称: 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2).,(2)直线关于直线的对称: 一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.,【变式训练】已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A的坐标. (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程. (3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l的方程.,【解析】(1)设A(x,y)，再由已知,(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点 必在m上. 设对称点为M(a,b),设m与l的交点为N,则由 得N(4,3). 又因为m经过点N(4,3), 所以由两点式得直线m的方程为9x-46y+102=0. (3)设P(x,y)为l上任意一点, 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y), 因为P在直线l上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0.,【加固训练】1.已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是( ) A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0,【解析】选B.l1与l2关于l对称,则l1上任一点关于l的对称点都在l2上, 故l与l1的交点(1,0)在l2上,又易知(0,-2)为l1上一点,设其关于l的对称 点为(x,y),则 即(1,0),(-1,-1)为l2上 两点,可得l2方程为x-2y-1=0.,2.直线x-2y+1=0关于x=3对称的直线方程为 . 【解析】设M(x,y)为所求直线上的任意一点,则其关于x=3对称的点为(6-x,y),从而有6-x-2y+1=0,即x+2y-7=0,所以直线x-2y+1=0关于x=3对称的直线方程为x+2y-7=0. 答案:x+2y-7=0,考点3 三种距离公式的应用 知考情 两点间的距离、点到直线的距离、两平行线间的距离在高考中常有所体现,一般是以选择题、填空题的形式出现,考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式以及转化与化归思想等.,明角度 命题角度1:两点间距离公式及应用 【典例3】(2014四川高考)设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定 点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是 ( ),【解题提示】求出定点A,B的坐标，然后判断PAPB，对点P与点A、点B的位置关系讨论，求|PA|+|PB|的取值范围.,【规范解答】选B.由动直线x+my=0知定点A的坐标为(0,0),由动直 线mx-y-m+3=0知定点B的坐标为(1,3),且两直线互相垂直,故点P在 以AB为直径的圆上运动.故当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|取得 最小值,(|PA|+|PB|)min=|AB|= .当点P与点A或点B不重合时,在 RtPAB中,有|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.因为|PA|2+|PB|22|PA|PB|, 所以2(|PA|2+|PB|2)(|PA|+|PB|)2,当且仅当|PA|=|PB|时取等号, 所以|PA|+|PB| 所以 |PA|+ |PB|2 ,所以|PA|+|PB|的取值范围是 ,2 .,命题角度2:点到直线的距离公式及应用 【典例4】(2015南昌模拟)过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,则直线方程为 . 【解题提示】设出过P(1,2)的直线方程后,利用点到直线的距离公式求之.,【规范解答】显然这条直线斜率存在. 设直线方程为y=kx+b,根据条件有 所以k=-4,b=6或,所以直线方程为y=-4x+6或 即4x+y-6=0或3x+2y-7=0. 答案:4x+y-6=0或3x+2y-7=0,【一题多解】解答本题还有如下方法： 因为kAB=-4,线段AB的中点为(3,-1)， 所以过P(1,2)且与直线AB平行的直线方程为 y-2=-4(x-1)，即4x+y-6=0.此直线符合题意. 过P(1,2)及线段AB的中点(3,-1)的直线方程为 y-2=- (x-1), 即3x+2y-7=0.此直线也是所求. 故所求直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0. 答案：4x+y-6=0或3x+2y-7=0,命题角度3:两平行线间的距离公式及应用 【典例5】(2015安庆模拟)若直线l1:x+3y+m=0(m0)与直线l2: 2x+6y-3=0的距离为 ,则m=( ) A.7 B. C.14 D.17 【解题提示】直线l1即2x+6y+2m=0,根据它与直线l2:2x+6y-3=0的距离 为 ,可得 由此求得m的值.,【规范解答】选B.直线l1：x+3y+m=0(m0)， 即2x+6y+2m=0, 因为它与直线l2：2x+6y-3=0的距离为 所以 故选B.,悟技法 距离的求法 (1)点到直线的距离 可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式.,(2)两平行直线间的距离 利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离; 利用两平行线间的距离公式. 提醒:在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式,且使x,y的系数分别相等.,通一类 1.(2015张家界模拟)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点， 点P为线段CD的中点，则 =( ) A.2 B.4 C.5 D.10 【解析】选D.以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为x轴,y轴建立直 角坐标系，设A(a,0),B(0,b)，则 从而|PA|2+|PB|2 =10|PC|2.故,2.(2015宝鸡模拟)若动点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线l1： x-y-5=0,l2：x-y-15=0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值 是( ) 【解析】选B.由题意得P1P2中点的轨迹方程是x-y-10=0,则原点到直 线x-y-10=0的距离,3.(2015大庆模拟)已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3) 到直线l的距离为 则直线l的方程为_,【解析】当直线过原点时，设直线方程为y=kx，由点A(1,3)到直线l 的距离为 得 解得k=7或k=1，此时直线l的方程为 y=7x或y=x，当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，由点A(1,3) 到直线l的距离为 得 解得a=2或a=6，此时所求的直 线方程为x+y2=0或x+y6=0. 综上所述，直线l的方程为y=7x或y=x或x+y2=0或x+y6=0. 答案：y=7x或y=x或x+y2=0或x+y6=0,4.(2013江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是 函数y= (x0)图象上一动点，若点P,A之间的最短距离为 则 满足条件的实数a的所有值为_.,【解析】设 (m0)，由两点间的距离公式得,令t=m+ 2得|PA|= 若a2，则当t=a时，|PA|min= 若a2，则当t=2时,|PA|min2=(2-a)2+a2-2=2a2-4a+2=8，解得a=-1或 a=3(舍去). 答案：-1,巧思妙解9 巧用直线系求直线方程 【典例】(2015金华模拟)经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为 .,【常规解法】由方程组 即P(0,2). 因l3的斜率为 ,且ll3,故l的斜率为- . 故直线l的方程为y=- x+2,即4x+3y-6=0. 答案:4x+3y-6=0,【巧妙解法】方法一: l与l3垂直, 故可设l的方程为4x+3y+m=0. 又由 得P(0,2),代入直线l的方程得m=-6. 故直线l的方程为4x+3y-6=0.,方法二: 设经过l1与l2交点的直线系方程为 (x-2y+4)+(x+y-2) =0(R),即(1+)x+(-2)y+(4-2)=0. 因l与l3:3x-4y+5=0垂直,故(1+)3+(-2)(-4)=0, 解得=11. 故直线l的方程为4x+3y-6=0. 答案:4x+3y-6=0,【方法指导】 1.常见的四大直线系方程 (1)过定点P(x0,y0)的直线系A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B20),还可以表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可视为x=x0). (2)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR且mC). (3)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR). (4)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R),但不包括l2.,2.应用直线系的关注点 利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时,一定要注意系数及符号的变化规律.,【类题试解】经过直线3x-2y+1=0和直线x+3y+4=0的交点,且平行于直线x-y+4=0的直线方程为 . 【常规解法】先解方程组 得两直线的交点(-1,-1). 又因为直线与x-y+4=0平行,故直线的斜率为1.于是由直线的点斜式方程求得:y-(-1)=x-(-1).即x-y=0.,【巧妙解法】方法一:因为所求直线与直线x-y+4=0平行,所以可设所求直线为x-y+c=0. 又因为该直线过直线3x-2y+1=0与直线x+3y+4=0的交点(-1,-1),所以-1-(-1)+c=0,即c=0, 所以,所求直线方程为x-y=0.,方法二:因为直线经过直线3x-2y+1=0和直线x+3y+4=0的交点,所以可 设直线方程为3x-2y+1+(x+3y+4)=0,即(3+)x-(2-3)y+1+4=0. 又因为所求直线与直线x-y+4=0平行,因此 =1,解得=- ,所 以所求直线方程为3x-2y+1- (x+3y+4)=0,即x-y=0. 答案:x-y=0,
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