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专题八 解题之金钥匙数学思想方法,著名的生物学家达尔文曾经说过:“最有价值的知识,就是关于方法的知识”.数学思想方法是数学知识的灵魂,是数学知识、数学技能的本质体现,是解决数学问题的金钥匙,具有“四两拨千斤”之效.因此掌握基本的数学思想方法,不仅是学习数学的基本要求,而且能够使数学能力不断提高,从而在中考中取得好成绩. 安徽中考常用到的数学思想方法有:整体思想、转化思想、方程思想、数形结合思想、分类思想等.在中考复习备考阶段,应系统总结这些数学思想与方法,掌握了它的实质,就可以把所学的知识融会贯通,解题时可以举一反三,预计2017年安徽中考仍将对数学思想方法进行重点考查.,1.整体思想:整体是与局部对应的,按常规不容易求某一个(或多个)未知量时,可打破常规,根据题目的结构特征,把一组数或一个代数式看作一个整体,从而使问题得到解决. 2.分类思想:体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.分类的原则:分类中的每一部分是相互独立的;一次分类按一个标准;分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的,既不重复,也不遗漏. 3.转化思想:在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题. 4.数形结合思想:从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形).数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决. 5.方程思想:用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组).这种思想在代数、几何及实际生活中有着广泛的应用.,6.构造思想:用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,构造函数或几何图形,运用函数性质或图形性质分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.运用构造思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质.,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,方法1 整体思想 典例1 (2016四川雅安)已知a2+3a=1,则代数式2a2+6a-1的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】直接利用已知将原式变形,进而代入代数式求出答案.a2+3a=1,2a2+6a-1= 2(a2+3a)-1=21-1=1. 【答案】 B,【规律总结】整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部的联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径.求代数式的值,一般是在知道字母取值的条件下进行的,但有些代数式,字母的值不知道或不易求出时,灵活变形,采用整体代入的方法,往往使问题简便获解.,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,方法2 分类思想 典例2 (2016哈尔滨)在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=3,点P为边BC的三等分点,连接AP,则AP的长为 .,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,【归纳总结】在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法.分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,方法3 转化思想 典例3 (2016淮南模拟)按下列程序进行运算(如图). 规定:程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算.若x=5,则运算进行 次才停止;若运算进行了5次才停止,则x的取值范围是 . 【解析】本题为程序信息题,通过转化借用一元一次不等式组求解问题.(1)x=5,第一次: 53-2=13;第二次:133-2=37;第三次:373-2=109;第四次:1093-2=325244,停止.(2)第1次,结果是3x-2;第2次,结果是3(3x-2)-2=9x-8;第3次,结果是3(9x-8)-2=27x-26; 第4次,结果是3(27x-26)-2=81x-80;第5次,结果是3(81x-80)-2=243x-242, 解得2x4,即运行5次才停止,x的取值范围是2x4. 【答案】 4,2x4,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,【方法指导】转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想.在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题.转化的内涵非常丰富,已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机.,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,方法4 数形结合思想 典例4 (2016亳州模拟)数形结合是数学中常用的思想方法,试运用这一思想方法确定函数y=x2+1与y= 的交点的横坐标x0的取值范围是 ( ) A.0x01 B.1x02 C.2x03 D.-1x00 【解析】本题考查二次函数图象、反比例函数图象.如图,函数y=x2+1与y= 的交点在第一象限,横坐标x0的取值范围是1x02. 【答案】 B,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,方法5 方程思想 典例5 (2016广西河池)如图的三角形纸片中,AB=AC,BC=12 cm,C=30,折叠这个三角形,使点B落在AC的中点D处,折痕为EF,那么BF的长为 cm.,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,【解析】本题考查翻折变换(折叠问题).过点D作DHBC于点H,过点A作ANBC于点N,ANDH,AB=AC,B=C=30,根据折叠可得:DF=BF,EDF=B=30,AB=AC,BC=12cm,BN=NC=6cm,点B落在AC的中点D处,ANDH,NH=HC=3cm,DH=3tan30=,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,【规律总结】从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系,转化为方程或方程组的数学模型,从而使问题得到解决的思维方法,这就是方程思想.用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组).这种思想在代数、几何及实际生活中有着广泛的应用.,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,方法6 构造思想 典例6 为有效开发海洋资源,保护海洋权益,我国对南海诸岛进行了全面调查.一测量船在A岛测得B岛在北偏西30,C岛在北偏东15,航行100海里到达B岛,在B岛测得C岛在北偏东45.求B,C两岛及A,C两岛的距离.( 2.45,结果保留到整数) 【解析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题.过点B作BDAC于点D,由等腰直角三角形的性质求出AD的长,再由直角三角形的性质即可得出结论.,方法2,方法1,方法3,方法4,方法5,方法6,【答案】由题意知,BAC=45,FBA=30,EBC=45,AB=100海里. 过点B作BDAC于点D, BAD为等腰直角三角形,2,1,3,4,5,6,7,1.(2016贵州黔南州)王杰同学在解决问题“已知A,B两点的坐标为A(3,-2),B(6,-5),求直线AB关于x轴的对称直线AB的解析式”时,解法如下:先是建立平面直角坐标系(如图),标出A,B两点,并利用轴对称性质求出A,B的坐标分别为A(3,2),B(6,5);然后设直线AB的解析 式为y=kx+b(k0),并将A(3,2),B(6,5)代入y=kx+b中,得方程组 最后求得直线AB的解析式为y=x-1.则在解题过程中他运用到的数学思想是 ( D ) A.分类讨论与转化思想 B.分类讨论与方程思想 C.数形结合与整体思想 D.数形结合与方程思想,2,1,3,4,5,6,7,【解析】第一步:建立平面直角坐标系,标出A,B两点,并利用轴对称性质求出A,B的坐标分别为A(3,2),B(6,5),这是依据轴对称的性质求得点的坐标(有序实数对),运用了数形结合的数学思想;第二步:设直线AB的解析式为y=kx+b(k0),并将A(3,2),B(6,5)代入y=kx+b中, 得方程组 最后求得直线AB的解析式为y=x-1,这里根据一次函数图象上点的坐标特征,列出方程求得待定系数,运用了方程思想.,2,1,3,4,5,6,7,2.(2016山东青岛)输入一组数据,按下列程序进行计算,输出结果如表: 分析表格中的数据,估计方程(x+8)2-826=0的一个正数解 x的大致范围为 ( C ) A.20.5x20.6 B.20.6x20.7 C.20.7x20.8 D.20.8x20.9 【解析】由表格可知,当x=20.7时,(x+8)2-826=-2.31,当x=20.8时,(x+8)2-826=3.44,故(x+8)2-826=0时,20.7x20.8.,2,1,3,4,5,6,7,3.(2016广东深圳)给出一种运算:对于函数y=xn,规定y=nxn-1.例如:若函数y=x4,则有y=4x3.已知函数y=x3,则方程y=12的解是 ( B ) A.x1=4,x2=-4 B.x1=2,x2=-2 C.x1=x2=0 【解析】由函数y=x3得n=3,则y=3x2,3x2=12,x2=4,x=2,x1=2,x2=-2.,2,1,3,4,5,6,7,4.(2016四川达州)如图,在55的正方形网格中,从在格点上的点A,B,C,D中任取三点,所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为 ( D ) 【解析】从点A,B,C,D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能,其中ABD, ADC, ABC是直角三角形,所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为 .,2,1,3,4,5,6,7,5.(2016贵州遵义)如图,四边形ABCD中,ABCD,ADC=90,动点P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度,按ABCD的顺序在边上匀速运动,设点P的运动时间为t秒, PAD的面积为S,S关于t的函数图象如图所示,当P运动到BC中点时,PAD的面积为 5 .,【解析】由图象可知,AB+BC=6,AB+BC+CD=10,CD=4, 根据题意可知,当P点运动到C点时,PAD的面积最大,SPAD=,2,1,3,4,5,6,7,6.某乡镇为了解决抗旱问题,要在某河道建一座水泵站,分别向河的同一侧张村A和李村B送水.经实地勘查后,工程人员设计图纸时,以河道上的大桥O为坐标原点,以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图),两村的坐标分别为A(2,3),B(12,7). (1)若从节约经费考虑,水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管最短? (2)水泵站建在距离大桥O多远的地方,可使它到张村、李村的距离相等?,2,1,3,4,5,6,7,解:(1)如图,作点B关于x轴的对称点E,连接AE, 则点E为(12,-7). 设直线AE的函数表达式为y=kx+b,则 直线AE的表达式为y=-x+5. 当y=0时,x=5, 水泵站建在距离大桥5 km的地方,可使所用输水管最短.,2,1,3,4,5,6,7,(2)如图,作线段AB的垂直平分线GF,交AB于点F,交x轴于点G,作ADx轴于点D,BCx轴于点C. 设点G的坐标为(x,0), 在RtAGD中,AG2=AD2+DG2=32+(x-2)2, 在RtBCG中,BG2=BC2+GC2=72+(12-x)2, AG=BG,32+(x-2)2=72+(12-x)2, 解得x=9. 水泵站建在距离大桥9 km的地方,可使它到张村、李村的距离相等.,2,1,3,4,5,6,7,7.(2016湖北黄石)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示,图中点的横坐标x表示科技馆从8:30开门后经过的时间(分钟),纵坐标y表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应 的函数解析式为y= 10:00之后来的游客较少可忽略不计. (1)请写出图中曲线对应的函数解析式; (2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过684人,后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆4人,直到馆内人数减少到624人时,馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟?,2,1,3,4,5,6,7,
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