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直线与圆的位置关系 切线长定理,探究: 经过平面上的已知点作已知圆的切线，会有怎样的情形呢？,A,P,O,如图，线段PA，PB的长就是点P到O的切线长,1、切线长的概念,经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.,O,A,P,O,B,P,切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。,切线和切线长,O,P,A,B,比一比,已知o及o外的一点P，PA与o相切于A点，连接OA、OP，如果将o沿直线OP翻折，存在一点与A点重合吗？,思考:,？,O,P,A,B,你能发现OA与PA，OB与PB之间的关系吗？,PA、PB所在的直线分别是o两条切线。,请证明你所发现的结论。,PA = PB,OPA=OPB,证明：PA，PB与O相切，点A，B是切点 OAPA，OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB,试用文字语言叙述你所发现的结论,证一证,2.切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角, PA、PB分别切O于A、B.,PA = PB,OPA=OPB,切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。,。,P,B,A,O,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连结圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。,想一想,如图：PA、PB是O的两条切线，A、B为切点。,。,A,O,C,P,B,思考：由切线长定理可以得出哪些结论？,(1)写出图中所有的垂直关系； (2)写出图中所有的全等三角形； (3)写出图中所有的等腰三角形,A,P,O,。,B,若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.,OP垂直平分AB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA = PB OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB,A,P,O,。,B,若延长PO交O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.,CA=CB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA = PB OPA=OPB PC=PC PCA PCB AC=BC,C,例1.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。,B,A,P,O,C,E,D,（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OB PB，AB OP,（3）写出图中所有的全等三角形,AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP,（4）写出图中所有的等腰三角形,ABP AOB,（5）若PA=4、PD=2，求半径OA,（2）写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,4,2,。,P,B,A,O,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连结圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。,例2.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B， 并与圆O的切线分别相交于C、D，已知 PA=7cm， (1)求PCD的周长 (2) 如果P=50,求COD的度数,E,2、已知：如图，P为O外一点，PA，PB为O的切线，A和B是切点，BC是直径求证：ACOP,2、已知：如图，P为O外一点，PA，PB为O的切线，A和B是切点，BC是直径求证：ACOP,问题：如图为一张三角形铁皮,如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮?,I,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.,内切圆,（即三角形三条角平分线的交点）,O在B的角平分线上， ODOE， 又O在C的平分线上， ODOF， ODOEOF D、E、F在同一个圆上 O即为内切圆的圆心,求证：三角形三条角平分线的交点是内切圆的 圆心,O,D,E,F,(角平分线的性质定理),证明：,B,C,a,b,c,r,A,直角三角形的两直角边分别是5cm,12cm 则其内切圆的半径为_。,思考,例3.如图，ABC中,C =90 ,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F，且BD=12，AD=8， 求O的半径r.,12,8,1.已知：ABC的内切圆分别和BC、AC、AB相切于点D、E、F，DIE=120,EIF=130.求ABC的三个内角的度数.,F,选做题：如图，AB是O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.,例5 试说明圆的外切四边形的两组 对边的和相等,3、已知：在ABC中，BC14厘米，AC9厘米，AB13厘米，它的内切圆I分别和BC，AC，AB相切于点D，E，F，求AF，BD和CE的长,1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,小 结：,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB ,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。,2.圆的外切四边形的两组对边的和相等,我们学过的切线，常有 五个 性质： 1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,六个,经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长,从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角,5 切线长定理,4 切线长,6 三角形的内切圆,与三角形各边都相切的圆,7 三角形的内心,三角形内切圆的圆心,（即三角形三条角平分线的交点）,1经过_一点作圆的切线，这点与切点之间_的长，叫做这点到圆的切线长 2圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的_条切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线 两条切线的夹角 3与三角形各边都_的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的_心，它是三角形 的交点,圆外,线段,两,相等,平分,相切,内,三条角平分线,B,A,80,A,24,2,解：根据切线长定理得AEAF，BFBD，CECD.设AEAF x cm，则CECD(26x) cm，BFBD(18x) cm.BC28 cm，(18x)(26x)28，解得x8，AF8 cm，BD10 cm，CE18 cm,B,C,A,50,4,
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