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7.4 常系数线性差分方程的求解,求解方法：,一、迭代法,利用迭代法可以很容易得到一些离散点的数值解，但是得到一个解析解不是很容易。实际中经常利用迭代法求出系统的边界值。,二、时域经典法,差分方程的时域经典求解与微分方程的求解过程完全一样：,方程的完全解齐次解特解,齐次解：由齐次方程的特征根的形式确定,特解：由输入序列的形式确定,通解中的待定系数：利用系统的边界值确定,对右移序差分方程：,零输入响应边界值 零状态响应边界值 完全响应边界值,已知,迭代,已知或迭代,1、齐次解（零输入响应的求解）,齐次解的形式：,2、特解,特解由差分方程右边自由项函数的形式决定,3、完全响应的分解,（齐次解加特解）,例题：已知系统的差分方程表达式为,(1)若边界条件y(-1)=0，求系统的完全响应 (2)若边界条件y(-1)=1，求系统的完全响应,7.5 离散时间系统单位样值响应,单位样值响应也称为单位冲激响应,单位样值响应的响应形式？,单位样值响应具有零输入响应的形式，也就是具有齐次解的响应形式,例题：系统的差分方程为： 求系统的单位函数响应。,例题：系统的差分方程为： 求系统的单位函数响应。,先求解如下差分方程的单位函数响应h1(n),则所求单位函数响应为：,与连续时间系统相对应，离散时间系统同样可以利用卷积的方法，求解系统的零状态响应。,连续时间LTI系统：,h(t),零状态响应：,离散时间LTI系统：,h(n),零状态响应：,任意离散序列：,离散时间LTI系统：,7.6 卷积（卷积和）,卷积和：,离散时间LTI系统：,零状态响应：,卷积和服从交换律、分配律、结合律,序列与单位样值的卷积,一.卷积和的运算过程：变量替换、反褶、平移、相乘、求和。,举例：求解图示序列的自卷积。,变量替换、反褶,平移、相乘、求和,n-4时 y(n)=0 n=-4时,n=3时,n=2时,n=1时,n=0时,n=1时,n=2时,n=3时,n=4时,n4时 y(n)=0 y(n)的波形如图所示:,图解过程和连续信号卷积的过程完全类似！,1.可以结合图解的方法分区间求和；,2.卷积和的求解过程可以仿照连续信号求解卷积积分的解析方法求解,二.对位相乘求和法计算有限长序列的卷积和,三.查表计算卷积和,410页表71：因果序列的卷积和,7.7 解卷积,解卷积已知y(n),h(n)确定x(n)；或者已知y(n)、x(n)确定h(n)的过程。,对因果系统、因果序列：,对因果系统、因果序列：,同理：,离散时间LTI系统：,h(n),?,应用：血压计传感器、地震信号处理等检测系统,从y(n)、x(n)确定h(n)的问题称为“系统辨识”,离散时间LTI系统：,？,?,应用：雷达探测系统（课本P36页） 通信中的信道估计 勘探（地质勘探、石油勘探等）,反卷积的运算除了利用时域方法求解外，还可以利用后面将要学习的变换域方法求解。,作业 7-10 7-28 (6)(7)(8) 7-32 (3),本章主要内容：,1.离散时间信号-序列 2.离散时间系统的数学模型 3.常系数线性差分方程的求解 4.离散时间系统的单位样值（冲激）响应 5.卷积 6.反卷积,差分方程与微分方程的转换,例：RC低通滤波器,课后习题7-26,差分方程可以解决很多实际中的离散问题,习题7-27：海诺塔问题,例：讨论海诺塔（Tower of Hanoi），有n个直径不同，中心 有孔的圆盘，穿在一个木桩上，如图由大到小，最大的在下 面，现在要把它们近按原样搬到另一个木桩上，传递时： （1）每次在木桩之间传递1个 （2）传递时不允许大的在小的上面 若传递n个圆盘的次数为y(n)，请列出方程，并求解,汉诺塔：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具（也说起源于越南河內附近一個不知名小村庄的寺庙）。 在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。,假如每秒钟一次，共需多长时间呢？,需要5845亿年以上,
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