2019-2020年高三下学期第三次模拟考试数学理试题 含解析.doc

绝密启用前2019-2020年高三下学期第三次模拟考试数学理试题 含解析本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第2224题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。4保持卡面清洁，不折叠，不破损。5做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。【试卷综析】本套试题整体上符合高考考纲的要求，侧重于基础的同时，也能测试出学生是不是能灵活运用知识解决相关的问题，考察分析问题和解决问题的能力。试题看似亲切，但是要注意到一些细节问题，整体上难度适合中等生，或者中等以上的学生来解决该试题。试题的知识点主要有：函数，不等式，数列，立体几何，解析几何，向量，三角函数，统计和概率等，可以说是面面俱到，重点问题重点考查，难点问题也有所突破。是一份比较成功的试卷。第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1已知集合，0,则是AB（1，1） C D(0,1)【知识点】集合的运算【答案解析】A 解析：，0，所以=故选：A【思路点拨】解出不等式和的解集，利用的定义即可解得结果。2若，其中a、bR，i是虚数单位，则ABCD【知识点】复数相等的充要条件；复数的模【答案解析】C 由已知得：，所以，则，所以，故选：C【思路点拨】把给出的等式左边化简，整理后运用复数相等的充要条件求得a和b的值，然后利用求模公式计算3已知实数满足，则目标函数-1的最大值为A5 B4 C D 【知识点】简单的线性规划【答案解析】B 解析：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，如图： 其中A（-1，-1），B（2，-1），C（，）-1可变形为：，表示斜率为2，在y轴上截距为的一组平行线，将直线l：z=2x-y进行平移， 当直线经过点B时，目标函数z达到最大值 ，所以，故选：B 【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z=2x-y-1对应的直线进行平移，可得当x=2，y=-1时，z取得最大值。4在等比数列a n中，则=A B C D【知识点】等比数列的性质【答案解析】C 解析：由等比数列的性质的：，因为，所以，又，所以，则，故选：C【思路点拨】利用等比数列的性质：若则化简已知，可解出，如何求出公比，代入等比数列的通项公式求即可。5将名学生分别安排到甲、乙，丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有A36种 B24种 C18种 D12种【知识点】计数原理；排列组合【答案解析】A 解析：先将4名学生分成3组，每组至少1人，有种不同的分组方法，再把这3组人安排到甲、乙、丙三地，共种不同的方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有：=36种，故选：A【思路点拨】先将4名学生分成3组，每组至少1人，再把这3组人安排到甲、乙、丙三地，根据分步乘法计数原理即可计算出结果。6已知双曲线的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直，则双曲线的离心率是A B CD【知识点】双曲线的简单几何性质；直线的垂直关系【答案解析】A 解析：双曲线的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直，所以双曲线的渐进线的斜率为：，又双曲线的渐近线方程为：，所以，则双曲线的方程为：，可得：，所以双曲线的离心率，故选：A【思路点拨】已知双曲线的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直，可求出渐近线的斜率，由此求出k的值，得到双曲线的方程，再求离心率。7已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是ABCD 【知识点】由三视图求表面积、体积【答案解析】D 解析：由三视图即相关数据可知，此组合体下部为正方体，该正方体的棱长为2；上部为半个圆柱，圆柱的底面直径为2，高为2；所以几何体的体积为：，故选：D【思路点拨】由几何体的三视图可知该几何体为下部为长方体，上部为半个圆柱，代入体积公式计算即可。8已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项是 A. -20 B. C. -192 D. -160 【知识点】程序框图；二项式定理【答案解析】D 解析：程序运行过程中，各变量的值如下表示： a i 是否继续循环循环前 2 1 /第一圈 -1 2 是第二圈 3 是第三圈 2 4 是第四圈 -1 5 是可以看出：a值成周期性变化，周期为3，循环结束时，2011除以3，余数为1，故最后输出a值与第三圈相同，所以，二项式的展开式的通项为：，令，得：，所以展开式中的常数项是：，故选：D【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环结构计算并输出a值求出a的值，再利用二项式定理求出展开式中的常数项即可。9设，则的值为 A8 B10 C-4 D -20【知识点】二倍角公式；同角三角函数基本关系【答案解析】C 解析：因为，所以，则，上下同除以，原式，故选：C【思路点拨】根据题意，由同角三角函数的关系，可得的值，把原式化简成，代入的值计算即可。10已知正三角形的边长是3，是上的点，BD=1，则=A B C D【知识点】向量的数量积；正余弦定理 【答案解析】B 解析：由余弦定理得：， ， 故选：B【思路点拨】利用余弦定理求出和向量的夹角的余弦值，根据向量数量积的定义即可求出结果。11已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点，过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=A B C D【知识点】抛物线的性质；抛物线和直线的综合【答案解析】D 解析：过点F（2,0）且斜率为k的直线的方程为：，设点，若，则 ，由消去并整理得：，消去并整理得：，将，代入并整理得：， 故选：D【思路点拨】求出过点F）且斜率为k的直线的方程，设出点A,B的坐标，联立直线和抛物线的方程，分别消去y，x，利用韦达定理得出，代入中，得到一个关于k的方程，解方程即可。12设是定义在上的偶函数，都有，且当时，若函数在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是A B. C. D. 【知识点】函数的性质；函数的零点【答案解析】C 解析：由，得关于直线对称， 又是定义在上的偶函数， ，即， 所以是周期为4的周期函数， 的零点即函数与的交点，作出函数的图像：若，当函数经过点时，函数与有2个交点，此时，解得，当函数经过点时，函数与有4个交点，此时，解得，要使两个函数有3个交点，则；若，当函数经过点时，函数与有2个交点，此时，解得，当函数经过点时，函数与有4个交点，此时，解得，要使两个函数有3个交点，则，综上，若函数在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是，故选：C【思路点拨】根据条件确定函数的奇偶性和周期性，由，得，在同一个坐标系内分别作出两个函数的图象，根据数形结合即可得到结论第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量n= 。【知识点】分层抽样【答案解析】81 解析：设样本容量为n， A、B、C三种产品的数量之比依次为2：3：4， ，解得：，故答案为：81 【思路点拨】设出样本容量，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量n，即为要求的样本容量。14 已知中，AB=5,BC=7，BAC=，则的面积为_.【知识点】余弦定理；三角形面积公式【答案解析】 解析：由余弦定理得：，即，整理得：,解之得：,，故答案为：【思路点拨】利用余弦定理列出另一边的方程，解出，代入三角形面积公式中计算面积即可。15下面给出的命题中：“m=-2”是直线与“直线相互垂直”的必要不充分条件；已知函数 则已知服从正态分布，且，则已知,，则这两圆恰有2条公切线；将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象。 其中是真命题的有 _。（填序号）【知识点】充分、必要条件的判断【答案解析】 解析：m=-2时，直线即，直线即，此时两直线垂直，故m=-2是两直线垂直的充分条件，故错误；函数=，则，故正确；服从正态分布，且，则,故错误；和的圆心分别为：，半径分别为：，所以两圆心的距离为，半径和为，差的绝对值为，所以两圆相交，恰有2条公切线，故正确；将函数的图象向右平移个单位，得到函数故正确，故答案为： 【思路点拨】将m=-2代入直线中化简可判断；利用定积分求出函数的解析式即可判断；根据正态曲线的对称性可判断；判断出两圆的位置关系可得到的真假；利用函数图像的平移及诱导公式可判断出。16. 设等差数列、的前n项和分别为、,若对任意都有 则=_.【知识点】等差数列的性质；等差数列的求和公式【答案解析】 解析：因为数列，为等差数列， 所以， ，故答案为：【思路点拨】先根据an，bn为等差数列，利用等差中项的性质对所求式子进行化简，再根据等差数列的求和公式求得=，将11代入即可解得答案。三、解答题:解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知向量,.（1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最值.【知识点】向量的数量积；三角恒等变换；三角函数的性质【答案解析】函数f(x)的最小正周期是. (2)x, , 【思路点拨】（1）根据向量的数量积运算求出的解析式并化简成的形式，利用计算周期即可；（2）由的范围得出的范围，进而解出的最值。18. （本小题满分12分）PABCDE如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，E是PB的中点。（）求证：平面平面PBC；（）若二面角的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值。【知识点】平面和平面垂直的判定；线面角和二面角【答案解析】 （）以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，1，0）。设P（0，0，a）（a0），则E（，）， ， 设直线PA与平面EAC所成角为，则， 【思路点拨】（）由已知可得,由勾股定理可证出,所以，再根据面面垂直的判定定理即可得出平面平面PBC；（）建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示点，进而求出所需向量的坐标，把线面角，二面角转化成对应向量的夹角，利用向量的夹角公式求夹角即可。19（本小题满分12分）为了了解青少年视力情况，某市从高考体检中随机抽取16名学生的视力进行调查，经医生用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如下：学生视力测试结果4 3 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 95 0 1 1 2 （1）若视力测试结果不低丁50，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率； （2）以这16人的样本数据来估计该市所有参加高考学生的的总体数据，若从该市参加高考的学生中任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望【知识点】茎叶图；古典概型的概率；离散型随机变量的分布列和期望【答案解析】 分布列为 【思路点拨】（1）根据茎叶图可求出“好视力”的人数，至多有1人是“好视力”可以分两类：没有“好视力”和恰有一人是“好视力”，用古典概型的概率公式分别计算各自的概率，相加即可；（2）先列出的可能取值，再求出各取值下的概率，列出表格即得分布列，代入期望的公式中可得期望。20（本小题满分12分）已知F1、F2分别为椭圆C：(ab0)的左、右焦点,且离心率为，点椭圆C上。 (1)求椭圆C的方程；(2) 是否存在斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点M、N，使直线与的倾斜角互补，且直线是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由。【知识点】椭圆的性质；椭圆的标准方程；直线和椭圆的综合【答案解析】 解：(1) 由已知得：，结合，可解得： ，由已知直线F2M与F2N的倾斜角互补,得 化简,得 整理得 直线MN的方程为, 因此直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0)【思路点拨】（1）由已知条件可得出两个关于的方程，结合，解得的值，即可得到椭圆的方程；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去，得到一个关于的一元二次方程，再设出点的坐标，利用韦达定理得出坐标的关系，然后利用直线F2M与F2N的倾斜角互补，列出直线的斜率和截距的等式，化简即可得结论。21.(本小题满分12分）已知函数f(x)= -ax(aR,e为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a=1，函数g(x)=(x-m)f(x)-+x2+x在区间（0，+）上为增函数，求整数m 的最大值.【知识点】函数的单调性和导数；函数的最值和导数【答案解析】解：（）定义域为，当时，所以在上为增函数； 当时，由得，且当时，当时， 令，； ，；令， 可知， 又当时， 所以函数在只有一个零点，设为，即， 且；由上可知当时，即；当时，即 ， 所以，有最小值， 把代入上式可得，又因为，所以， 又恒成立，所以，又因为为整数， 所以，所以整数的最大值为1【思路点拨】（1）先求导数，对参数a分类讨论，分别令导数大于零，小于零，解出x的范围即可；（2）由于函数在区间上为增函数，则其导函数在恒成立，再分离参数m得到在恒成立，此时问题变为求函数在上的最值，用导数求最值即可。请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修41: 几何证明选讲 如图所示，已知O1和O2相交于A、B两点，过A点作O1的切线交O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交O1、O2于点D、E，DE与AC相交于点P（1）求证：ADEC;（2）若AD是O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长【知识点】与圆有关的比例线段【答案解析】【思路点拨】（1）由弦切角定理，得BAC=D由同弧所对的圆周角，得BAC=E，所以D=E，最后由平行线的判定得ADEC；（2）在O1中利用切割线定理，算出PB=3再在O2中由相交弦定理，得出PE=4，最后在O2利用切割线定理，即可算出AD的长23.（本小题满分10分）选修44: 坐标系与参数方程圆的直径AB上有两点C,D,且P为 圆上一点，求的最大值。【知识点】圆的参数方程及其应用【答案解析】解：如图建立直角坐标系，因为,所以圆的参数方程为：因为因为点P在圆上，所以设点P的 坐标为所以，当【思路点拨】建立适当的坐标系，得到点的坐标，根据已知条件求出圆的参数方程，由点P在圆上，可设出点P的坐标，代入中并化简，根据三角函数的性质即可求得最大值。24（本小题满分10分）选修45: 不等式选讲已知a,b均为正数，且a+b=1,证明： （1） （2）【知识点】不等式的证明【答案解析】证明：（1） 因为a+b=1,所以，a-1=-b,b-1=-a,故=,当且仅当a=b时等号成立。（2）=当且仅当a=b时等号成立。【思路点拨】（1）要证，只需证0，根据已知条件化简，可得=，结论得证；（2）将所证不等式左边化为：，利用基本不等式证明即可。