2019-2020年高二下学期期初数学试题.doc

2019-2020年高二下学期期初数学试题一、填空题1（3分）过平面的一条平行线可作一个个平面与平面垂直考点：平面与平面之间的位置关系专题：常规题型；规律型分析：在已知直线上取一点作出平面的垂线，即可得到平面的垂面解答：解：因为直线与已知平面垂直，所以在一个已知直线上取一点作出平面的垂线，因为两条相交直线只能确定一个平面，所以与已知平面垂直的平面有且只有一个故答案为：一个点评：本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直关系的应用，基本知识的考查2（3分）已知样本数据x1，x2，xn的方差为4，则数据2x1+3，2x2+3，2xn+3的标准差是4考点：极差、方差与标准差专题：概率与统计分析：首先设原数据的平均数为 ，则新数据的平均数为2+3，然后利用方差的公式计算得出答案，求出标准差即可解答：解：设原数据的平均数为，则新数据的平均数为2 +3，则其方差为 （x1）2+（x2）2+（xn）2=4，则新数据的方差为：（2x1+32 3）2+（2x2+32 3）2+（2xn+32 3）2=4（x1）2+（x2）2+（xn）2=16故数据2x1+3，2x2+3，2xn+3的标准差是：4故答案为：4点评：本题考查了方差的定义当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍3（3分）已知单位向量，的夹角为，那么|=考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题分析：先将所求向量的模平方，转化为向量数量积运算，再利用已知两向量的模和夹角，利用数量积运算性质计算即可，最后别忘了开平方解答：解：单位向量，的夹角为，|2=4+4=1411cos+4=12+4=3|=故答案为点评：本题主要考查了单位向量、向量夹角的概念，向量数量积运算及其性质的应用，求向量的模的一般方法4（3分）在一个球内有一个内接长方体（长方体的各顶点均在球面上），该长方体的长、宽、高分别为4、，则这个球的表面积为36考点：球内接多面体；球的体积和表面积专题：空间位置关系与距离分析：长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出表面积解答：解：长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r=6，所以这个球的表面积：4r2=36故答案为：36点评：本题是基础题，考查长方体的外接球的应用，球的表面积的求法，考查计算能力5（3分）（2011广东模拟）已知函数f（x）=+（aN*），对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）f（x2）|1，则正整数a的取值个数是5考点：函数恒成立问题专题：综合题分析：对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）f（x2）|1，即表明f（x）的最大值与最小值的差小于1（也就是值域区间的长度小于1），求其最大最小值即可解答：解：ax0，x0，0xa，定义域为0，a对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）f（x2）|1，即表明f（x）的最大值与最小值的差小于1（也就是值域区间的长度小于1），求其最大最小值即可f（x）=+0f（x）2=a+2a，当x=0或a时，f（x）取最小值又x（ax）2=，当x=ax即x=时取等号即f（x）2a+a=2a，f（x），当x=时取最大值（1）1=1+a3+2aN*，a=1、2、3、4、5正整数a的取值个数是5个故答案为：5点评：本题考查恒成立问题，考查函数的最值，解题的关键是转化为值域区间的长度小于16（3分）一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为5考点：频率分布表专题：概率与统计分析：由样本容量是20，某组的频率为0.25，由此直接计算能求出该组的频数解答：解：由题设知该组的频数：200.25=5故答案为：5点评：本题考查频数的性质和应用，解题时要注意样本容量、频数和频率之间相互关系的灵活运用7（3分）已知实数x，y满足条件，z=x+yi（i为虚数单位），则|z1+2i|的最小值是考点：简单线性规划的应用；复数求模专题：计算题；数形结合分析：先作出不等式组对应的区域，再利用复数的几何意义将|z1+2i|的最小值转化成定点与区域中的点的距离的最小的问题求解即可解答：解：如图，作出对应的区域，由于z=x+yi（i为虚数单位），所以|z1+2i|表示点（x，y）与（1，2）两点之间的距离，如图知点（x，y）是（1，2）在直线y=x上的垂足时，|z1+2i|值最小为d=故答案为：点评：本题考查一定点与区域中的一动点距离最值的问题，一般是先作图，再由图作判断、考查数形结合思想，计算能力8（3分）（xx江苏）双曲线的两条渐近线方程为考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程解答：解：双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=x双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想9（3分）已知点A（2，3）、B（3，2），若直线l：y=kx+1与线段AB有公共点，则斜率k的取值范围是考点：直线的一般式方程专题：计算题分析：意直线l：y=kx+1过定点（0，1），作出图象，求出边界直线的斜率，且直线由m开始，逆时针旋转时斜率增大，进而可得要求的范围解答：解：由题意可得直线l：y=kx+1过定点（0，1），如图当直线介于m，n之间时，满足题意，km=2，kn=，且直线由m开始，逆时针旋转时斜率增大，故斜率的取值范围为：故答案为：点评：本题考查直线的斜率，数形结合是解决问题的关键，属基础题10（3分）如图所示，水平地面上有一个大球，现作如下方法测量球的大小：用一个锐角为60的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，P为三角板与球的切点，如果测得PA=5，则球的表面积为300考点：球的体积和表面积专题：空间位置关系与距离分析：连接OA，由AP与AD为圆O的切线，根据切线性质得到OPA与ODA都为直角，由BAC=60，根据平角定义得到PAD为120，再根据切线长定理得到OAP等于PAD的一半，得出OAP=60，在直角三角形OAP中，根据锐角三角函数定义得出OP=APtan60，进而求出OP的长，即为半径R，代入球的表面积公式即可求出解答：解：连接OA，AB与AD都为圆O的切线，OPA=90，ODA=90，BAC=60，PAD=120，PA、AD都是O的切线，OAP=PAD=60，在RtOPA中，PA=1cm，tan60=，则OP=APtan60=5cm，即O的半径R为5cm则球的表面积S=4R2=4（5）2=300故答案为：300点评：本题考查了球的体积和表面积，圆的切线性质，及解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题11（3分）若函数，则f（f（0）=324考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法专题：计算题分析：根据分段函数的解析式，把x=0代入求得f（0）的值，再把f（0）当成x继续代入f（x）的解析式，从而求解；解答：解：函数，f（0）=，f（f（0）=f（）=324=324，故答案为324点评：此题考查分段函数的解析式的性质，不同的定义域对应不同的函数解析式，是一道比较基础的题12（3分）四个函数y=x1，y=x2，y=x3，y=lnx，中，在区间（0，+）上为减函数的是y=x1，考点：函数单调性的判断与证明专题：函数的性质及应用分析：根据幂函数、指数函数、对数函数的性质逐项判断即可找出符合条件的答案解答：解：对幂函数y=xa，当a0时在（0，+）上为减函数，a0时在（0，+）上为增函数所以y=x1在（0，+）上为减函数，y=x2，y=x3在（0，+）上为增函数；对指数函数y=ax（a0，且a1），当a1时在R上为增函数，当0a1时在R上为减函数，所以在（0，+）上为减函数，对对数函数y=logax（a0，且a1），当a1时在（0，+）上为增函数，当0a1时在（0，+）上为减函数，所以y=lnx（0，+）上为增函数，故答案为：y=x1，点评：本题考查幂函数、指数函数、对数函数的单调性，属基础题13（3分）函数y=2的单调递减区间是（，2）考点：复合函数的单调性专题：函数的性质及应用分析：先把函数y=分解为y=2t与t=x2+4x+1，因为y=2t单调递增，所以要求函数y=的单调递减区间只需求函数t=x2+4x+1的单调减区间即可解答：解：令t=x2+4x+1，则函数y=可看作由y=2t与t=x2+4x+1复合而成的由t=x2+4x+1=（x+2）23，得函数t=x2+4x+1的单调减区间是（，2），又y=2t单调递增，所以函数y=的单调递减区间是（，2）故答案为：（，2）点评：本题考查指数函数的单调性、二次函数的单调性以及复合函数单调性的判定方法，该类问题一要考虑函数定义域，二要遵循“同增异减”的规律二、解答题14（10分）如图在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA=AB，ABC=60，BCA=90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC，（1）求证：BC平面PAC（2）当D为PB中点时，求AD与平面PAC所成的角的余弦值；（3）是否存在点E，使得二面角ADEP为直二面角，并说明理由考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法专题：证明题分析：（1）欲证BC平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，而PABC，BCAC，满足定理所需条件；（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，由DE平面PAC可知，DAE即是所求的二面角的平面角，利用向量的夹角的公式求出此角即可；（3）设D点的y轴坐标为a，DEAE，DEPE，当ADEP为直二面角时，PEAE，利用垂直，向量的数量积为零建立等式关系，解之即可解答：解：（1）BC平面PAC（2）建立空间直角坐标系如图，各点坐标分别为：P（0，0，1），B（0，1，0），C，由DE平面PAC可知，DAE即是所求的二面角的平面角，故所求二面角的余弦值为（3）设D点的y轴坐标为a，DEAE，DEPE，当ADEP为直二面角时，PEAE，所以符合题意的E存在点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角的度量，直二面角的运用，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题15（10分）在数列an中，a1=1，an+1=2an+2n（）设bn=证明：数列bn是等差数列；（）求数列an的前n项和Sn考点：数列的求和；等差关系的确定专题：计算题；证明题分析：（1）由an+1=2an+2n构造可得即数列bn为等差数列（2）由（1）可求=n，从而可得an=n2n1 利用错位相减求数列an的和解答：解：由an+1=2an+2n两边同除以2n得，即bn+1bn=1bn以1为首项，1为公差的等差数列（2）由（1）得an=n2n1Sn=20+221+322+n2n12Sn=21+222+（n1）2n1+n2nSn=20+21+22+2n1n2n=Sn=（n1）2n+1点评：本题考查利用构造法构造特殊的等差等比数列及错位相减求数列的和，构造法求数列的通项及错位相减求数列的和是数列部分的重点及热点，要注意该方法的掌握16（10分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0a）（1）求MN的长；（2）a为何值时，MN的长最小；（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的大小考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的性质专题：计算题分析：（1）作MPAB交BC于点，NQAB交BE于点Q，连接PQ，易证MNQP是平行四边形，根据即可求出MN的长；（2）根据（1）将MN 关于a的函数进行配方即可求出MN的最小值，注意取最小值时a的取值；（3）取MN的中点G，连接AG、BG，根据二面角的平面角的定义可知AGB即为二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求出此角的余弦值，结合图形可二面角与之互补解答：解（1）作MPAB交BC于点，NQAB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MPNQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形MN=PQ由已知CM=BN=a，CB=AB=BE=1，=（2）由（1）=所以，当时，即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为（3）取MN的中点G，连接AG、BG，AM=AN，BM=BN，G为的中点AGMN，BGMN，即AGB即为二面角的平面角又，所以，由余弦定理有故所求二面角为：点评：本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强17（10分）在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P求证：APAN+BPBM=AB2考点：与圆有关的比例线段专题：证明题分析：作PEAB于E，先证明P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆，得到两对乘积式，后相加即可得到结论解答：证明：作PEAB于EAB为直径，ANB=AMB=90P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆AEAB=APAN（1）BEAB=BPBM（2）（1）+（2）得AB（AE+BE）=APAN+BPBM即APAN+BPBM=AB2点评：本题主要考查了与圆有关的比例线段，特别是证明四点共圆的方法，属于基础题18（10分）化简或求值：（1）；（2）考点：有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质专题：计算题分析：（1）由第一项得到a的取值范围，然后根据开方与乘方的互逆性得到值即可；（2）根据对数的运算性质化简可得值解答：解：（1）由题知a10即a1，所以=a1+|1a|+1a=a1；（2）=lg（5102）+lg8lg5lg+50lg（25）2=lg5+2+lg8lg5lg8+50=52点评：此题为基础题，要求学生灵活运用有理数指数幂的运算性质及对数的运算性质做第一问时注意a的取值范围19（11分）大楼共有n层，现每层指派一人，共n个人集中到第k层开会 试问如何确定k，能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小？（假设相邻两层楼梯长都一样）考点：函数最值的应用专题：函数的性质及应用分析：设相邻两层楼梯长为a，则问题转化为下列和式S的最小值的探求：S=S（k）=a1+2+3+（k1）+a1+2+（nk ），分类讨论，即可得到结论解答：解：设相邻两层楼梯长为a，则问题转化为下列和式S的最小值的探求：S=S（k）=a1+2+3+（k1）+a1+2+（nk ）=ak2（n+1）k+（n2+n）目标函数S（k）为k的二次函数，且a0，故当n为奇数时，取k=，S最小；当n为偶数时，取k=或 ，S最小点评：本题考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，正确建模是关键