2019-2020年高三（上）第一次质量检测数学试卷（理科）.doc

2019-2020年高三（上）第一次质量检测数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1（3分）（xx松江区一模）集合A=0，2，a，B=1，a2，若AB=0，1，2，4，16，则a的值为4考点：并集及其运算专题：计算题分析：根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得 ，即可得答案解答：解：A=0，2，a，B=1，a2，AB=0，1，2，4，16a=4，故答案为：4点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题2（3分）（xx南昌模拟）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合若x，yR，A=x|y=，B=y|y=3x，x0则A*B为 x|0x1或x2考点：Venn图表达集合的关系及运算专题：计算题；新定义分析：先分别求出集合A和集合B，然后根据A*B表示阴影部分的集合得到A*B=x|xA或xB且xAB，最后根据新定义进行求解即可解答：解：A=x|y=0，2B=y|y=3x，x0=1，+）根据A*B表示阴影部分的集合可知A*B=x|xA或xB且xABA*B=x|0x1或x2故答案为：x|0x1或x2点评：本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力以及转化的能力，属于新颖题型3（3分）已知函数f（x）=x26x+8，x1，a，并且函数f（x）的最小值为f（a），则实数a的取值范围是（1，3考点：函数的最值及其几何意义；二次函数的性质专题：常规题型；压轴题分析：由题意知，函数f（x）在区间1，a上单调递减，结合二次函数的对称轴求出实数a的取值范围解答：解：函数f（x）=x26x+8=（x3）21，x1，a，并且函数f（x）的最小值为f（a），又函数f（x）在区间1，3上单调递减，1a3，故答案为：（1，3点评：本题考查二次函数函数的单调区间，联系二次函数的图象特征，体现转化的数学思想4（3分）若函数f（x+1）=x22x+1的定义域为2，6，则函数y=f（x）的单调递减区间1，2考点：二次函数的性质；函数的图象与图象变化专题：函数的性质及应用分析：由已知函数f（x+1）=x22x+1的定义域为2，6，可得2x6，进而1x+17，再利用换元法求得函数的解析式，进而得出函数y=f（x）的单调递减区间解答：解：函数f（x+1）=x22x+1的定义域为2，6，2x6，1x+17令x+1=t，则x=t1，且1t7，f（t）=（t1）22（t1）+1=（t2）2，函数y=f（x）的单调递减区间是1，2故答案为1，2点评：本题考查了函数的定义域和单调性，正确理解函数的定义域是自变量的取值范围和掌握二次函数的单调性是解题的关键另外利用换元法是解决此类题的常用方法5（3分）（2011西山区模拟）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时f（x）g（x）+f（x）g（x）0且g（3）=0，则f（x）g（x）0的解集为 （，3）（0，3）考点：函数的单调性与导数的关系；奇函数；偶函数专题：计算题分析：先根据f（x）g（x）+f（x）g（x）0可确定f（x）g（x）0，进而可得到f（x）g（x）在x0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x0时也是增函数，最后根据g（3）=0可求得答案解答：解：因 f（x）g（x）+f（x）g（x）0，即f（x）g（x）0故f（x）g（x）在x0时递增，又f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在x0时也是增函数f（3）g（3）=0，f（3）g（3）=0所以f（x）g（x）0的解集为：x3或0x3故答案为：（，3）（0，3）点评：本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习6（3分）已知函数若f（f（0）=4a，则实数a=2考点：函数与方程的综合运用专题：计算题分析：给出的是分段函数，根据所给变量的范围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，f（2）=4+2a=4a，a=2故答案为2点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性7（3分）已知p：，q：，则q是p的必要不充分条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：根据题意分别求出命题p和q，再根据充分必要条件的定义，进行判断；解答：解：已知p：，解得0x，q：，解得0x1，0x，0x1，q是p的必要不充分条件；故答案为：必要不充分；点评：此题主要考查不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；8（3分）（xx怀柔区二模）当x（1，2）时，不等式（x1）2logax恒成立，则实数a的取值范围是（1，2考点：对数函数的单调性与特殊点专题：计算题分析：根据二次函数和对数函数的图象和性质，由已知中当x（1，2）时，不等式（x1）2logax恒成立，则y=logax必为增函数，且当x=2时的函数值不小于1，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案解答：解：函数y=（x1）2在区间（1，2）上单调递增，当x（1，2）时，y=（x1）2（0，1），若不等式（x1）2logax恒成立，则a1且1loga2即a（1，2，故答案为：（1，2点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据二次函数和对数函数的图象和性质，结合已知条件构造关于a的不等式，是解答本题的关键9（3分）（xx东莞市模拟）已知函数满足对任意成立，则a的取值范围是考点：函数单调性的性质专题：综合题；数形结合；转化思想；综合法分析：对任意成立，说明此函数是一个减函数，由此性质即可判断得出参数所满足的不等式，求解即可解答：解：对任意成立函数是一个减函数，由于函数，故解得a故答案为：点评：本题考查函数单调性的性质，解题的关键是对“对任意成立”理解以及在分段函数的端点处函数值大小比较，即x=0时两个端点的函数值的比较准确理解题意，认真审题是此类题正解解答的关键本题易因为忘记比较端点处的函数值的大小比较而导致出错做题时要注意转化的等价性10（3分）f（x）是以2为周期的偶函数，且当x0，1时，f（x）=x，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）kxk有4个零点，则实数k的取值范围是考点：函数与方程的综合运用；函数的周期性；函数的零点；二项式定理专题：计算题分析：根据函数是一个偶函数且周期是2，写出函数在1，0，2，3，1，0）上的函数解析式，根据g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点分别在这四段上讨论零点的情况，零点的范围，最后求出几种结果的交集解答：解：x在0，1，f（x）=x 由于f（x）是偶函数，x在1，0，f（x）=x f（x）是周期为2的函数 f（2）=f（0）=0 函数解析式：y=x+2 x在2，3时，函数解析式：y=x2 g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点 x在1，0） g（x）=xkxk=（k+1）xk 令g（x）=0 x=10解得k0 x在（0，1g（x）=xkxk=（1k）xk 令g（x）=0 x=01 解的0kx在（1，2g（x）=x+2kxk=（k+1）x+2k 令g（x）=0 x=12 解的0kx在（2，3g（x）=x2kxk=（1k）x2k 令g（x）=0 x=23 解的0k综上可知，k的取值范围为：0k故答案为：（0，点评：学生知识经验已较为丰富，智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以本题符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展11（3分）函数f（x）=sin3x+x5x3在2，2上最大值与最小值之和为6考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：构造g（x）=sin3x+x5x，确定函数是奇函数，从而可求函数f（x）=sin3x+x5x3在2，2上最大值与最小值之和解答：解：令g（x）=sin3x+x5x，则g（x）=sin3xx5+x=g（x），g（x）=sin3x+x5x是奇函数g（x）=sin3x+x5x在2，2上最大值与最小值之和为0函数f（x）=sin3x+x5x3在2，2上最大值与最小值之和为6故答案为：6点评：本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题12（3分）给出如下四个命题：x（0，+），x2x3；x（0，+），xex；函数f（x）定义域为R，且f（2x）=f（x），则f（x）的图象关于直线x=1对称；若函数f（x）=lg（x2+axa）的值域为R，则a4或a0；其中正确的命题是（写出所有正确命题的题号）考点：命题的真假判断与应用专题：证明题分析：令x=1，可判断的真假；构造函数f（x）=exx，利用导数法法分析其值域，即可判断的真假；利用函数对称变换法则“对称变换二倍减，横向减里边，纵向减外边”的口决，可判断的真假；根据对数函数的性质，分析出内函数值域A（0，+），进而根据二次函数的图象和性质求出a的范围可得的真假；解答：解：当x=1时，x2=x3=1，故为假命题；令f（x）=exx，则f（x）=ex1，当x（0，+），f（x）0，即f（x）在（0，+）上为增函数，f（x）f（0）=1恒成立，故为假命题；根据函数图象对称变换法则，可得若f（2x）=f（x）恒成立，则f（x）的图象关于直线x=1对称，故为真命题；若函数f（x）=lg（x2+axa）的值域为R，设函数y=x2+axa的值域为A，则A（0，+），即=a2+4a0，解得a4或a0，故为真命题；故答案为：点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，其中熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的图象与性质，函数图象的对称变换法则，是解答的关键13（3分）已知定义在（1，+）上的函数，若f（3a2）f（2a），则实数a取值范围为（，1）考点：函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法专题：函数的性质及应用分析：由函数的解析式可得函数在（1，0）上是增函数，由 2x+1在0，+）是增函数，且20+132=1，可得函数在（1，+）上是增函数，故由不等式可得 3a2 2a1，由此求得实数a取值范围解答：解：由于=3，故函数在（1，0）上是增函数再由 2x+1在0，+）是增函数，且20+132=1，可得函数在（1，+）上是增函数再由f（3a2）f（2a），可得 3a2 2a1，解得a1，故实数a取值范围为 （，1）点评：本题主要考查函数的单调性的性质，注意2a1，这是解题的易错点，属于中档题14（3分）已知函数f（x）=若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则lga+lgb+lgc的取值范围是（1，2）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点专题：函数的性质及应用分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨abc，求出abc的范围即可解答：解：不妨设abc，则由函数的解析式可得f（a）=f（b）=f（c），即lga=lgb=c+50（0，1），ab=1，且0c+501，则abc=c（98，100），1lgc2，故lga+lgb+lgc=lg（abc）=lgc（1，2） 作出函数g（x）的图象如图：故答案为（1，2）点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力，属于基础题二、解答题（共10小题，满分108分）15（12分）若集A=（x，y）|x2+mxy+2=0，xR，B=（x，y）|xy+1=0，0x2当AB时，求实数m的取值范围考点：集合关系中的参数取值问题专题：转化思想分析：由AB，将问题转化为方程组在0，2上有解，即x2+（m1）x+1=0在0，2上有解，构造函数f（x）=x2+（m1）x+1，则函数在0，2上有零点，结合二次函数的图象和性质及零点存在定理，可得实数m的取值范围解答：解：问题等价于方程组在0，2上有解，即x2+（m1）x+1=0在0，2上有解，令f（x）=x2+（m1）x+1，则由f（0）=1知抛物线y=f（x）过点（0，1），抛物线y=f（x）在0，2上与x轴有交点等价于f（2）=22+2（m1）+10 或 由得m，由得m1，实数m的取值范围为（，1点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，方程的根与函数零点之间的关系，其中将集合有公共元素转化为方程组有解，再转化为函数有零点，进而借助函数的图象和性质进行解答是本题的关键16（12分）已知x满足，求的最大值与最小值及相应的x的值考点：对数函数图象与性质的综合应用专题：函数的性质及应用分析：由条件求得，化简函数y的解析式为 ，由此可得y最大值与最小值及相应的x的值解答：已知x满足，求的最大值与最小值及相应的x的值解：由题意 ，解得 ，又=（log2x1）（log2x2）=，当时，当log2x=3时，ymax=2，即当 时，；当x=8时，ymax=2点评：本题主要考查二元一次不等式、对数不等式的解法，属于中档题17（12分）设函数y=f（x）是定义在R+上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），（1）求f（1）的值；（2）如果f（x）+f（2x）2，求x的取值范围考点：函数的值；函数单调性的性质专题：计算题；函数的性质及应用分析：（1）利用赋值法：令x=y=1即可求解（2）利用赋值法可得，f（）=2，然后结合f（xy）=f（x）+f（y），转化已知不等式，从而可求解答：解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0（4分）（2），又由y=f（x）是定义在R+上的减函数，得：解之得： （12分）点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，及利用函数的单调性求解不等式，属于函数知识的综合应用18（12分）某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0x8）元时，每天多卖出的件数与x2+x成正比已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件（1）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？考点：函数最值的应用专题：综合题；函数的性质及应用分析：（1）确定每件商品的利润，每天卖出的商品件数，即可求得该商品一天的销售利润表示成x的函数；（2）求导函数，确定函数的极值，从而可得最大利润解答：解：（1）由题意可设，每天多卖出的件数为k（x2+x），36=k（32+3），k=3又每件商品的利润为（2012x）元，每天卖出的商品件数为48+3（x2+x）该商品一天的销售利润为f（x）=（8x）48+3（x2+x）=3x3+21x224x+384（0x8）（2）由f（x）=9x2+42x24=3（x4）（3x2）令f（x）=0可得或x=4当x变化时，f（x）、f（x）的变化情况如下表：0480+0384极小值极大值4320当商品售价为16元时，一天销售利润最大，最大值为432元点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是确定函数的解析式19（8分）设函数f（x）=e2x+|exa|，（a为实数，xR）（1）求证：函数f（x）不是奇函数；（2）若g（x）=xa在（0，+）单调减，求满足不等式f（x）a2的x的取值范围；（3）求函数f（x）的值域（用a表示）考点：反证法与放缩法；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法专题：计算题；应用题；分类讨论；转化思想分析：（1）利用反证法，假设f（x）是奇函数，则f（x）=f（x），推出矛盾结果，即可证明函数f（x）不是奇函数；（2）利用g（x）=xa在（0，+）单调减，求出a的范围，然后解不等式f（x）a2，求出x的取值范围；（3）通过当a0，分别求函数f（x）的值域（用a表示）即可解答：解：（1）证明：假设f（x）是奇函数，则f（x）=f（x），而xR，则f（0）=0，而f（0）=e0+|e0a|=1+|1a|0，故假设不成立，从而函数f（x）不是奇函数（2）因g（x）=xa在（0，+）单调减，则a0，e2x+|exa|=e2x+exaa2则（exa）（ex+a+1）0，而（exa）0，则exa1，于是xln（a+1）；（3）设ex=t，则t0，y=f（x）=t2+|ta|，当a0时，y=f（x）=t2+ta在t0时单调增，则f（x）f（0）=a；当时，y=f（x）=t2+taf（a）=a2；当时，；故当a0时，f（x）的值域为（a，+）；当时，f（x）的值域为（a2，+）；当时，f（x）的值域为点评：本题考查函数的单调性的应用，函数的值域的求法，分类讨论思想的应用，考查转化思想计算能力20（8分）已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a0）在x=1处取得极大值2（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）f（x2）|c，求实数c的最小值；（3）若关于p的一元二次方程p22mp+4=0两个根均大于1，求函数的单调区间考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值专题：导数的概念及应用分析：（1）根据奇函数的性质f（x）=f（x），已知条件函数f（x）=ax3+bx2+cx（a0）在x=1处取得极大值2可以推出f（1）=0和f（1）=2，代入即可求得函数y=f（x）的解析式；（2）根据题意对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）f（x2）|c，将问题转化为）|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min|，求出f（x）的最大值和最小值即可；（3）已知关于p的一元二次方程p22mp+4=0两个根均大于1，根据根与系数的关系求出m的范围，利用导数研究函数g（x）的单调性；解答：解：（1）奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a0）在x=1处取得极大值2，奇函数f（x）=f（x），解得b=0，可得f（x）=3ax2+c由题，解得，f（x）=x3+3x；（2）|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min|=4，根据（1）可得f（x）=x3+3x；求导得f（x）=3x2+3=3（x21）令f（x）=0，可得x=1或1，当f（x）0即1x1，f（x）为增函数，当f（x）0时即x1或x1，f（x）为减函数，f（x）在x=1处取极大值f（1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=，2；f（2）=2，f（2）=2，f（x）max=2，f（x）min=2，要使对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）f（x2）|c，|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min|=4，故c的最小值为4；（3）p22mp+4=0两个根均大于1，则求得，g（x）=x2+3+mlnx，则x0而，则时，g（x）0，故是g（x）的单调增区间，时，g（x）0，故是g（x）的单调减区间点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查的知识点比较全面是一道中档题，这类题是高考的热点问题；21（10分）已知a，bR，若所对应的变换TM把直线L：2xy=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵考点：逆变换与逆矩阵专题：计算题；选作题分析：首先分析题目已知所对应的变换TM把直线L：2xy=3变换为自身，故可根据变换的性质列出一组方程式求解出a，b即可得到矩阵M，再根据MM1=E，求得M的逆矩阵即可解答：解：设P（x，y）为直线2xy=3上任意一点其在M的作用下变为（x，y）则代入2xy=3得：（b+2）x+（2a3）y=3其与2xy=3完全一样故得则矩阵 又因为MM1=E则点评：此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到逆矩阵的求法，题中是用一般方法求解，也可根据取特殊值法求解，具体题目具体分析找到最简便的方法22（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的倾斜角；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程专题：计算题分析：（1）根据直线参数方程中的意义，求出直线l的倾斜角（2）把曲线C的极坐标方程化为普通方程，可知曲线是圆，根据点到直线的距离公式和圆被直线所截得的弦长公式进行计算解答：解：（1）直线参数方程可以化，根据直线参数方程的意义，这条经过点，倾斜角为60的直线（2）l的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，所以圆心到直线l的距离，点评：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，这两个方程是坐标系与参数方程中的重点经过点P0（x0，y0）、倾斜角为的直线的参数方程是其中t为参数，直线上的点P处的参数t的几何意义是有限线段的数量 以及点到直线的距离公式的应用23（10分）甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，采用五局三胜制若每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为现已完成一局比赛，乙暂时以1：0领先（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时比赛的局数为X，求随机变量X的概率分布列和数学期望考点：互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列专题：压轴题分析：（1）甲获得这次比赛胜利，包括甲以3：1获胜和甲以3：2获胜，而前两种情况是互斥的，根据独立重复试验公式和互斥事件的概率公式，列出算式，得到结果（2）比赛结束时比赛的局数为X，则X的可能取值是3、4、5，当X=3时，乙获得比赛胜利，当X=4时，甲和乙都有可能胜利，包括甲第2、3、4局都胜，或是乙，第2、3局胜一局，第4局一定胜解答：解：（1）设甲获胜为事件A，则甲获胜包括甲以3：1获胜（记为事件A1）和甲以3：2获胜（记为事件A2），且事件A1，A2为互斥事件，P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=答：甲获得这次比赛胜利的概率为（2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，随机变量的分布列为P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=随机变量X的数学期望为E（X）=点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识24（14分）已知多项式（1）求f（1）及f（1）的值；（2）试探求对一切整数n，f（n）是否一定是整数？并证明你的结论考点：反证法与放缩法；函数的值专题：计算题；压轴题分析：（1）根据 ，直接求出f（1）和f（1）的值（2）对一切整数n，f（n）一定是整数（10）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数再证n=0时，f（0）是整数，再证当n为负整数时，令n=m，m是正整数，证明f（m）是整数，从而命题得证解答：解：（1），f（1）=1； f（1）=0（2）对一切整数n，f（n）一定是整数证明如下：（10）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数当n=1时，f（1）=1，结论成立假设当n=k（k1，kN*）时，结论成立，即是整数，则当n=k+1时，=f（k）+k4+4k3+6k2+4k+1，根据假设f（k）是整数，而k4+4k3+6k2+4k+1显然是整数，故f（k+1）是整数，从而当n=k+1时，结论也成立由、可知对对一切正整数n，f（n）是整数（7分）（20）当n=0时，f（0）=0是整数（8分）（30）当n为负整数时，令n=m，则m是正整数，由（1）f（m）是整数，所以=f（m）+m4是整数综上，对一切整数n，f（n）一定是整数（10分）点评：本题主要考查二项式定理、用数学归纳法证明数学命题，推出当n=k+1时命题也成立，是解题的关键和难点，体现了分类讨论的数学思想，属于难题