2019-2020年高三第一次模拟统测数学试题.doc

2019-2020年高三第一次模拟统测数学试题一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上1（5分）（xx徐州模拟）集合A=1，0，1，B=x|x=m2+1，mR，则AB=1考点：交集及其运算 专题：计算题分析：根据题意，分析可得集合B=x|x1，结合交集的定义，计算可得AB，即可得答案解答：解：根据题意，集合B=x|x=m2+1，mR=x|x1，又由集合A=1，0，1，则AB=1，故答案为1点评：本题考查集合的交集运算，关键是正确求出集合B2（5分）（xx宿迁一模）若复数z满足，其中i是虚数单位，则|z|=2考点：复数求模专题：计算题分析：利用复数模的运算性质对iz=1+i两端同时取模即可解答：解：iz=1+i，两端取模得：|iz|=|1+i|即|z|=|1+i|=2故答案为：2点评：本题考查复数求模，考查观察与灵活应用复数模的运算性质解决问题的能力，属于基础题3（5分）（xx宿迁一模）某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品种数是6考点：分层抽样方法专题：计算题分析：先计算出抽取比例，再按比例计算动物类食品所抽取的数值即可解答：解：抽取比例为=，故动物类食品所抽取的数值为30=6故答案为：6点评：本题主要考查了分层抽样的有关知识，同时考查了分析问题的能力，属于基础题4（5分）（xx宿迁一模）已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是4考点：极差、方差与标准差专题：计算题分析：已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，其平均成绩是124，可以求出a，把五次数学成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差解答：解：某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，其平均成绩是=124，=124，解得a=124，这组数据的方差是S2=（121124）2+（127124）2+（123124）2）+（124124）2+（125124）2=4，故答案为4；点评：本题考查一组数据的方差，对于一组数据这是经常出现的一种题目，用方差来衡量这组数据的波动情况，本题是一个基础题5（5分）（xx宿迁一模）如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是5考点：伪代码专题：计算题分析：通过分析伪代码，按照代码进行执行，当运行4次时即跳出循环输出I的值即可解答：解：根据已知伪代码其意义为当S24时，执行循环I=I+1；S=SI通过执行运算，第1次循环：I=I+1=2，S=12=2第2次循环：I=2+1=3，S=23=6第3次循环：I=3+1=4，S=64=24第4次循环：I=4+1=5，S=245=120此时，S不再满足s24，跳出循环，输出I故答案为：5点评：本题考查伪代码，通过理解进行分析和运行当运行达到已知伪代码的条件时，输出i的值本题为基础题6（5分）（xx宿迁一模）已知点P在圆x2+y2=1上运动，则P到直线3x+4y+15=0的距离的最小值为2考点：点到直线的距离公式专题：计算题分析：先判断直线与圆的位置 关系，进而可知圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径解答：解：x2+y2=1的圆心（0，0），半径为1圆心到直线的距离为：d=31直线3x+4y+15=0与圆相离圆上的点到直线的最小距离为：31=2故答案为：2点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系考查了学生数形结合的思想，转化和化归的思想7（5分）（xx宿迁一模）过点（1，0）与函数f（x）=ex（e是自然对数的底数）图象相切的直线方程是y=x+1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；函数的性质及应用分析：设切点为（a，ea），由f（x）=ex，f（x）=ex，知f（a）=ea，所以切线为：yea=ea（xa），代入点（1，0），能求出过点（1，0）与函数f（x）=ex（e是自然对数的底数）图象相切的直线方程解答：解：设切点为（a，ea）f（x）=ex，f（x）=ex，f（a）=ea，所以切线为：yea=ea（xa），代入点（1，0）得：ea=ea（1a），解得a=0因此切线为：y=x+1故答案为：y=x+1点评：本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答8（5分）（xx宿迁一模）连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）两次，则出现向上的点数和大于9的概率是考点：古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：设两次点数为（m，n），则所有的（m，n）共有66=36个，其中满足m+n9的有6个，由此求得出现向上的点数和大于9的概率解答：解：设两次点数为（m，n），则所有的（m，n）共有66=36个，其中满足m+n9的有：（4，6）、（6，4）、（5，5）、（5，6）、（6，5）、（6，6），共有6个，故出现向上的点数和大于9的概率是 =，故答案为 点评：本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是正确列举出所有的满足条件的事件，本题是一个基础题9（5分）（xx宿迁一模）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8若AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为6考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征专题：计算题分析：当底面ABC水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积，由于是三棱柱形容器，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，不必求三角形的面积解答：解：不妨令此三棱柱为直三棱柱，如图当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形设ABC的面积为S，则S梯形ABFE=S，V水=SAA1=6S当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水=Sh，6S=Sh，h=6故当底面ABC水平放置时，液面高为6故答案为：6点评：本题考点是棱柱、棱锥、棱台的体积，考查用用体积公式来求高，解答本题时要充分考虑几何体的形状，根据其形状选择求解的方案10（5分）（xx宿迁一模）已知，若，则sin（）的值为考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数专题：计算题分析：由于=（+）（），由，（，），利用两角差的正弦即可求得sin（）的值解答：解：，（，），+，0，又sin（+）=，cos（）=，cos（+）=，sin（）=sin（）=sin（+）（）=sin（+）cos（）cos（+）sin（）=（）（）=故答案为：点评：本题考查两角和与差的正弦与余弦，考查观察分析转化运算的能力，属于中档题11（5分）（xx宿迁一模）若数列an是各项均为正数的等比数列，则当时，数列bn也是等比数列；类比上述性质，若数列cn是等差数列，则当dn=时，数列dn也是等差数列考点：等差关系的确定分析：数学中类比定理的应用是比较重要的探索路径，看清题目中给出的已知条件，模仿条件写出结论，这个结论正确与否不是重点，重要的是要形似解答：解：由条件类比可知：dn=时，数列dn也是等差数列故答案为：点评：从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力12（5分）（xx宿迁一模）已知双曲线，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B，F分别是双曲线的左顶点和左焦点若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为考点：数量积表示两个向量的夹角；双曲线的简单性质专题：平面向量及应用分析：利用双曲线的简单性质求出A、C、B、F各个点的坐标，再利用两个向量的夹角公式以及=2，求出cos= 的值解答：解：由题意可得由题意得A（0，b），C（0，b），B（a，0），F（c，0），=2=（a，b），=（c，b） 设与的夹角为，则cos=，故答案为 点评：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，两个向量的夹角公式，属于中档题13（5分）（xx宿迁一模）设等差数列an的前n项和为Sn，若1a54，2a63，则S6的取值范围是12，42考点：数列与不等式的综合专题：计算题分析：利用等差数列的通项公式将已知条件中的不等式化成首项与公差满足的不等关系，利用不等式的性质及等差数列的前n项和公式求出前6项的和的范围解答：解：a5=a1+4d，a6=a1+5d，所以1a1+4d4，2a1+5d3所以205a120d5，63a1+15d9，两式相加得，142a15d4，两边同乘以1，42a1+5d14两边同乘以3，126a1+15d42又因为S6=6a1+15d，所以12S642故答案为12，42点评：利用不等式的性质解决问题时，一定要注意不等式的两边同乘以一个负数，不等号要改变方向14（5分）（xx宿迁一模）已知函数f（x）=|x1|1|，若关于x的方程f（x）=m（mR）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是（3，0）考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：画出函数f（x）=|x1|1|的图象，可得方程f（x）=m（mR）恰有四个互不相等的实数根是地，m的取值范围，进而求出方程的四个根，进而根据m的范围和二次函数的图象和性质，可得x1x2x3x4的取值范围解答：解：函数f（x）=|x1|1|的图象如下图所示：由图可知，若f（x）=m的四个互不相等的实数根，则m（0，1）且x1，x2，x3，x4分别为：x1=m，x2=2m，x3=m+2，x4=m，x1x2x3x4=（m2）24m2=（m22）24（3，0）故答案为：（3，0）点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中画出函数的图象，引入数形结合思想是解答本题的关键二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）（xx宿迁一模）已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C的对边，若向量，且（1）求角A的大小；（2）求函数的值域考点：正弦定理；零向量；两角和与差的正弦函数专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（1）通过向量的平行，利用共线，通过正弦定理以及两角和的正弦函数化简，求出A的余弦值，然后求角A的大小；（2）通过函数，利用两角和与差的三角函数，化为铁公鸡的一个三角函数的形式，结合B的范围，直接求解函数的值域解答：解：（1）因为向量，且所以（2bc）cosA=acosC，由正弦定理得：2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）即2sinBcosA=sinB，所以cosA=A是三角形的内角，所以A=（2）因为函数=sinB+cosB=2sin（B+），而，所以函数y=2sin（B+）的值域（1，2点评：本题考查两角和与差的三角函数的应用，正弦定理的应用，正弦函数值的求法，考查计算能力16（14分）（xx宿迁一模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，BC=BB1，D为AB的中点（1）求证：BC1平面AB1C；（2）求证：BC1平面A1CD考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离分析：（1）BC1平面AB1C，即要证BC1与平面AB1C内两条相交直线均垂直，结合已知、直棱柱的几何特征及正方形的性质，可证得结论（2）要证BC1平面CA1D，必须证明BC1平面CA1D内的一条直线，因而连接AC1与A1C的交点E与D，证明即可解答：证明：（1）三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱CC1平面ABC；又AC平面ABCCC1AC又ACBC，CC1BC=CAC平面B1C1CB又B1C平面B1C1CBB1CAC又BC=BB1，平面B1C1CB为正方形，B1CBC1，又B1CAC=CBC1平面AB1C；（2）连接BC1，连接AC1于E，连接DE，E是AC1中点，D是AB中点，则DEBC1，又DE面CA1D1，BC1面CA1D1BC1面CA1D点评：本题考查棱柱的结构特征，考查线面垂直的判定，线面平行的判定，转化的数学思想是中档题17（14分）（xx宿迁一模）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入总支出）考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式专题：综合题；函数的性质及应用分析：（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论解答：解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x6x+x（x1）50=x2+20x50（0x10，xN）由x2+20x500，可得105x10+521053，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）利润=累计收入+销售收入总支出，二手车出售后，小张的年平均利润为=19（x+）1910=9当且仅当x=5时，等号成立小张应当再第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题18（16分）（xx宿迁一模）已知椭圆C：的离心率，一条准线方程为（1）求椭圆C的方程；（2）设G，H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OGOH当直线OG的倾斜角为60时，求GOH的面积；是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设出椭圆的标准方程，利用椭圆C的离心率，一条准线方程为，建立方程组，求得几何量，即可求椭圆C的标准方程；（2）确定G，H的坐标，求得OG，OH的长，即可求GOH的面积；假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OGOH=RGH，因为OG2+OH2=GH2，故，分类讨论可得结论解答：解：（1）因为椭圆的离心率，一条准线方程为所以，a2=b2+c2，（2分）解得，所以椭圆方程为 （4分）（2）由，解得，（6分）由得，（8分）所以，所以（10分）假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OGOH=RGH因为OG2+OH2=GH2，故，当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，与椭圆方程联立，可得，同理可得，R=当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得故满足条件的定圆方程为x2+y2=点评：本题考查椭圆的几何性质，考查标准方程，考查学生分析解决问题的能力，确定椭圆的标准方程是关键19（16分）（xx宿迁一模）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，nN*（1）证明数列an是等比数列，并写出通项公式；（2）若对nN*恒成立，求的最小值；（3）若成等差数列，求正整数x，y的值考点：等比数列的通项公式；等差关系的确定；数列的求和专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）因为，且an0，所以推出a1=1，；由，知，由此能求出数列an的通项公式（2）由（1）得，由此能求出的最小值（3）若成等差数列，其中x，y为正整数，则成等差数列，整理，得2x=1+2y2，由此能求出正整数x，y的值解答：解：（1）因为，其中Sn是数列an的前n项和，Tn是数列的前n项和，且an0，当n=1时，由，解得a1=1，（2分）当n=2时，由，解得； （4分）由，知，两式相减得，即，（5分）亦即2Sn+1Sn=2，从而2SnSn1=2，（n2），再次相减得，又，所以所以数列an是首项为1，公比为的等比数列，（7分）其通项公式为，nN*（8分）（2）由（1）可得，（10分）若对nN*恒成立，只需=3=3对nN*恒成立，33对nN*恒成立，3（3）若成等差数列，其中x，y为正整数，则成等差数列，整理，得2x=1+2y2，当y2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1，等式不能成立，满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2点评：本题考查等比数列的证明和数列的通项公式的求法，考查最小值的求法，考查满足条件的实数值的求法解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用20（16分）（xx宿迁一模）已知函数f（x）=lnxx，（1）求h（x）的最大值；（2）若关于x的不等式xf（x）2x2+ax12对一切x（0，+）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）x3+2ex2bx=0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b的值考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数的零点专题：函数的性质及应用分析：（1）已知h（x）的解析式，对其进行求导，利用导数研究其单调性，从而求解；（2）因为关于x的不等式xf（x）2x2+ax12对一切x（0，+）恒成立，将问题转化为xlnxx22x2+ax12对一切x（0，+）恒成立，利用常数分离法进行求解；（3）关于x的方程f（x）x3+2ex2bx=0恰有一解，可得=x22ex+b+1恰有一解，构造新函数h（x）=利用导数研究h（x）的最大值，从而进行求解；解答：解：（1）因为，所以，（2分）由h（x）0，且x0，得0xe，由h（x）0，且x0，xe，（4分）所以函数h（x）的单调增区间是（0，e，单调减区间是e，+），所以当x=e时，h（x）取得最大值；（6分）（2）因为xf（x）2x2+ax12对一切x（0，+）恒成立，即xlnxx22x2+ax12对一切x（0，+）恒成立，亦即对一切x（0，+）恒成立，（8分）设，因为，故（x）在（0，3上递减，在3，+）上递增，（x）min=（3）=7+ln3，所以a7+ln3 （10分）（3）因为方程f（x）x3+2ex2bx=0恰有一解，即lnxxx3+2ex2bx=0恰有一解，即恰有一解，由（1）知，h（x）在x=e时，（12分）而函数k（x）=x22ex+b+1在（0，e上单调递减，在e，+）上单调递增，故x=e时，k（x）min=b+1e2，故方程=x22ex+b+1恰有一解当且仅当b+1e2=，即b=e2+1；点评：本题考查利用导数求函数的单调区间的方法，求函数的导数以及对数函数的定义域与单调区间注意函数的定义域，此题是一道中档题，考查学生计算能力；三、解答题（共3小题，满分0分）21（xx宿迁一模）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的 垂直平分线，若AB=6，CD=2，求线段AC的长度B选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M=的一个特征值是3，求直线x2y3=0在M作用下的新直线方程C选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程D选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知关于x的不等式|ax1|+|axa|1的解集为R，求正实数a的取值范围考点：特征值、特征向量的应用；与圆有关的比例线段；圆的参数方程；绝对值不等式的解法专题：综合题；不等式的解法及应用；直线与圆分析：A：设AB和 CD交与点E，设AE=x，由题意可得AB是直径，EB=6x，CE=5由射影定理求出x的值，从而求得AC的值B：由矩阵M=的一个特征值是3，求得 a=2，M=设直线x2y3=0上的任意一点（x，y）在M作用下的对应点为（x，y），则有 ，即，代人x2y3=0，整理可得新直线方程C：由参数方程消去参数，化为普通方程，求出圆心和半径，可得在极坐标系下，曲线C是以为圆心，半径等于1的圆，从而求得它的极坐标方程D：因为|ax1|+|axa|a1|，故原不等式解集为R，等价于|a1|1，由此求得a的范围，即为所求解答：解：A：连接BC，设AB和 CD交与点E，设AE=x，AB是线段CD的 垂直平分线，故AB是直径，ACB=90，故 EB=6x，CE=5由射影定理可得 CE2=AEEB，即 x（6x）=5，解得x=1（舍去），或 x=5AC2=AEAB=56=30，AC=B：已知矩阵M=的一个特征值是3，f（）=（2）（a）1=0，即 （32）（3a）1=0，解得a=2，M=设直线x2y3=0上的任意一点（x，y）在M作用下的对应点为（xy，），则有 ，整理得，即，代人x2y3=0，整理得4x5y9=0，故所求直线方程为：4x5y9=0C：由消去，得x2+（y1）2=1，曲线C是以（0，1）为圆心，半径等于1的圆 所以在极坐标系下，曲线C是以为圆心，半径等于1的圆所以曲线C的极坐标方程是=2sin D：因为|ax1|+|axa|a1|，故原不等式解集为R等价于|a1|1所以a2，或a0又因为a0，所以a2，所以正实数a的取值范围为2，+）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，与圆有关的比例线段，矩阵的特征值与特征向量，圆的参数方程、极坐标方程的应用，属于中档题22（xx宿迁一模）如图，在正四棱锥PABCD中，已知，点M为PA中点，求直线BM与平面PAD所成角的正弦值考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角专题：计算题；空间角分析：建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量=（1，1，1），=（），利用向量的夹角公式，即可求得结论解答：解：正四棱锥PABCD中，OA=OB=OP=1建立如图所示的空间直角坐标系，则有A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）M是PA的中点，M（），=（1，0，1），=（0，1，1）设平面PAD的法向量为=（x，y，1），则由，可得=（1，1，1）=（）cos=直线BM与平面PAD所成角的正弦值为点评：本题考查线面角，考查空间向量的运用，考查学生的计算能力，属于基础题23（xx宿迁一模）某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字19的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”（如1、2、3）的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券所有获奖等第均以最高奖项兑现，且不重复兑奖记X表示一次摇奖获得的购物券金额（1）求摇奖一次获得一等奖的概率；（2）求X的概率分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题：计算题；概率与统计分析：（1）记“摇奖一次获得一等奖”为事件A，连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况由此能求出摇奖一次获得一等奖的概率（2）由题设知X的可能取值分别为1000，500，200，50分别求出P（X=1000），P（X=500），P（X=200），P（X=50），由此能求出X的分布列EX解答：解：（1）记“摇奖一次获得一等奖”为事件A，连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况P（A）=故摇奖一次获得一等奖的概率为（2）由题设知X的可能取值分别为1000，500，200，50P（X=1000）=，P（X=500）=，P（X=200）=，P（X=50）=，X的分布列如下： X 1000 500 200 50 PEX=点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的应用，是历年高考的必考题型之一解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用