2019-2020年高三（上）期中数学试卷（文科）.doc

2019-2020年高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题1（5分）已知U=R，A=x|1x0，则UA=（，1）0，+）考点：补集及其运算专题：计算题分析：找出全集R中不属于A的部分，即可求出A的补集解答：解：U=R，A=x|1x0，则UA=x|x1或x0=（，1）0，+）故答案为：（，1）0，+）点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2（5分）“x2=x+2”是“”的充要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：通过“”x2=x+20，利用充要条件判断即可解答：解：“x2=x+2”可得“x2=x+20”“”；“”x2=x+2“x2=x+2”是“”的充要条件故答案为：充要点评：本题考查必条件、充分条件、充要条件的判断和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答3（5分）函数的定义域是0，1）（1，+）考点：函数的定义域及其求法专题：函数的性质及应用分析：由函数的解析式可得1x0，且x0，由此求得x的范围，即为函数的定义域解答：解：函数，1x0，且x0，解得 0x1，或 1x，故答案为：0，1）（1，+）点评：本题主要考查函数的定义域的求法，属于基础题4（5分）函数y=Asin（x+）（A，为常数，A0，0）的图象如图所示，则=2考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题：计算题分析：依题意，由图象利用其周期可求得解答：解：由函数y=Asin（x+）的图象得：=，T=，又T=（0），=，=2故答案为：2点评：本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，属于中档题5（5分）已知等差数列an的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则=2考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和专题：计算题分析：由题意可得，解之可得a1=2d0，变形可得答案解答：解：由题意可得：，即d（2da1）=0，因为公差d不为0，故2da1=0，解得a1=2d0，故=2，故答案为：2点评：本题考查等差数列的通项公式，涉及等比数列的概念，属基础题6（5分）当函数y=sinxcosx（0x2）取得最大值时，x=考点：三角函数的最值；两角和与差的正弦函数专题：计算题；压轴题分析：利用辅助角公式将y=sinxcosx化为y=2sin（x）（0x2），即可求得y=sinxcosx（0x2）取得最大值时x的值解答：解：y=sinxcosx=2（sinxcosx）=2sin（x）0x2，x，ymax=2，此时x=，x=故答案为：点评：本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinxcosx（0x2）化为y=2sin（x）（0x2）是关键，属于中档题7（5分）已知实数x，y满足x+y=1，则x2+y2的最小值是考点：点到直线的距离公式专题：数形结合分析：在平面直角坐标系中作出直线x+y=1，由x2+y2=可知x2+y2的最小值是原点到直线x+y=1的距离的平方解答：解：如图，由题意可知，求x2+y2的最小值是求原点到直线x+y=1的距离的平方，化x+y=1为一般式，即x+y1=0，则（0，0）到x+y1=0的距离为，所以原点到直线x+y=1的距离的平方为故答案为点评：本题考查了点到直线的距离公式，考查了数学转化思想和数形结合思想，解答此题的关键是对x2+y2的几何意义的理解，此题是中档题8（5分）设P、A、B、C是球O表面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB=，PC=3，则球O的体积为考点：球的体积和表面积；球内接多面体专题：空间位置关系与距离分析：由已知中P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=，PC=3，我们易求出球O的半径，进而求出球O的体积解答：解：P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长又PA=1，PB=，PC=3，2R=4R=2故球O的体积V=故答案为：点评：本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件计算出球O的半径，是解答本题的关键9（5分）已知函数是奇函数，且f（a22a）f（3），则实数a的取值范围是（，1）（3，+）考点：奇偶性与单调性的综合专题：计算题；函数的性质及应用分析：由奇函数的性质可知，f（0）=0，代入可求m，然后结合函数f（x）的单调性可得a22a与3的大小，从而可求a的范围解答：解：由奇函数的性质可知，f（0）=0即m=0，f（x）=1在R上单调递增f（a22a）f（3）a22a3即a22a30解不等式可得，a3或a1故答案为：（，1）（3，+）点评：本题主要考查了奇函数性质的应用及利用函数的单调性求解不等式的应用10（5分）（xx如皋市模拟）已知=考点：两角和与差的正弦函数分析：观察题中角之间的关系，x+与是互补的关系，x+与是互余关系，这是解题的突破口，用诱导公式求出结论中要用的结果，题目得解解答：解：，=，故答案为：点评：在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题11（5分）正项等比数列an中，若1a22，2a33，则a5的取值范围是2，27考点：等比数列的通项公式专题：计算题；综合题分析：由1a22，2a33，求出公比q的范围，继而求出q2的范围，最后采用不等式的可乘积性求出a5的范围解答：解：设等比数列的公比为q，则，1a22，又2a33，即1q3，1q29，又，即a52，27故答案为2，27点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查不等式的运算性质，不等式的可乘积性要注意适用范围，此题为中档题12（5分）在ABC中，AB=2，BC=4，B=60，设O是ABC的内心，若，则=考点：平面向量的基本定理及其意义专题：计算题；平面向量及应用分析：由余弦定理算出AC长，从而得到ABC为以BC为斜边的直角三角形，得内切圆半径r=+1设圆O与AB、AC的切点分别为E、F，连接OE、OF，则OEAF是正方形，所以=+，根据AB、AC的长度与AE、AF长度之间的关系可得用、的线性表示式，即可得到所求p、q的比值解答：解：如图，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcos60=12AB2+AC2=16=BC2，得ABC为以BC为斜边的直角三角形由此可得ABC的内内切圆半径r=（AB+ACBC）=+1设圆O与AB、AC的切点分别为E、F，连接OE、OF，则四边形OEAF是正方形=，=，=+已知p=，q=，可得=故答案为：点评：本题给出三角形，求向量线性表示式，着重考查了余弦定理、直角三角形内切圆公式和平面向量基本定理等知识，属于中档题13（5分）已知a，b，c（0，+），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为考点：基本不等式专题：计算题分析：由已知整理可得，然后利用基本不等式可求S的最小值及满足的条件：ab=1，然后由1=abc（a+b+c）=c（a+c）=cc2+2c，从而可得关于c的不等式，解不等式可求c的范围解答：解：a0，b0，c0，且abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c）=ab+（a+b）c+c2=2当且仅当ab=即ab=1时取等号Smin=2此时1=abc（a+b+c）=c（a+c）=cc2+2cc2+2c10c0c的最大值为故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解答本题的技巧要注意体会掌握14（5分）已知各项均为正数的两个数列an，bn，由下表给出：n12345an15312bn162xy定义数列cn：，并规定数列an，bn的“并和”为Sab=a1+a2+a5+c5，若Sab=15，则y的最小值为3考点：数列递推式专题：压轴题；等差数列与等比数列分析：由已知中，可以得到：x3时，c5=y；x3时，c5=x+y3，结合Sab=a1+a2+a5+c5=15，可得c5=3，进而得到y的最小值解答：解：由a2=5，c1a2，故c2=c1a2+b2=05+6=1；由a3=3，c2a3，故c3=c2a3+b3=13+2=0；由a4=1，c3a4，故c4=c3a4+b4=01+x=x1；由a5=2，若c4a5，即x12，即x3时，c5=b5=y若c4a5，即x12，即x3时，c5=c4a5+b5=x12+y=x+y3Sab=a1+a2+a5+c5=15+c5=12故c5=3若x3，即y=3若x3，即x+y3=3，此时y=6x3综上y的最小值为3故答案为：3点评：本题考查的知识点是数列的递推公式，不等式的基本性质，其中根据得到x3时，c5=y；x3时，c5=x+y3，是解答的关键二、解答题15（14分）在锐角三角形ABC中，（1）求tanB的值；（2）若，求实数m的值考点：两角和与差的正切函数；平面向量数量积的运算；正弦定理专题：计算题分析：（1）利用sinA利用同角三角函数基本关系，求得cosA，求得tanA，利用正切的两角和公式求得tanB（2）通过向量的数量积，以及正弦定理，同角三角函数的基本关系式，即可求出m的值解答：解：（1）因为锐角三角形ABC中，所以cosA=，tanA=，即解得：；（2）因为，所以bccosA=maccosB，由正弦定理得：sinBcosA=msinAcosB，即tanB=mtanA，即，解得 点评：本题主要考查同角三角函数基本关系，正切的两角和公式，及二倍角的余弦三角函数基本关系多，复杂，平时应注意多积累16（14分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D在棱BC上，ADC1D，（1）设点M是棱BB1的中点，求证：平面AMC1平面AA1C1C；（2）设点E是B1C1的中点，过A1E作平面交平面ADC1于l，求证：A1El考点：平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）正三棱柱ABCA1B1C1中，M是棱BB1的中点，能够推导出OM平面AA1C1C，由此能够证明平面AMC1平面AA1C1C（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，M是棱BB1的中点，E是B1C1的中点，故ADA1E，所以A1E平面ADC1，由此能够证明A1El解答：解：（1）正三棱柱ABCA1B1C1中，M是棱BB1的中点，AB=B1C1，BM=B1M，ABM=C1B1M，AM=C1MAMC1是等腰三角形取AC1的中点O，CC1的中点M，连接MO，OP，MP，则MOAC1，OPCC1，MPCC1，CC1平面OPM，OM平面OPM，CC1OMCC1AC1=C1，OM平面AA1C1C，OM平面AMC1，平面AMC1平面AA1C1C（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，M是棱BB1的中点，E是B1C1的中点，ADA1E，AD平面ADC1，A1E平面ADC1，A1E平面ADC1，过A1E作平面交平面ADC1于l，A1El点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与直线平行的证明解题时要认真审题，仔细解答，合理运用辅助线，化空间问题为平面问题17（14分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，依等差数列逐年递增（）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；（）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用；数列的应用专题：计算题；应用题分析：（I）由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n项和公式，即可得到f（n）的表达式；（II）由（I）中使用n年该车的总费用，我们可以得到n年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的n值，进而得到结论解答：解：（）依题意f（n）=14.4+（0.2+0.4+0.6+0.2n）+0.9n （3分）=（5分）=0.1n2+n+14.4（7分）（）设该车的年平均费用为S万元，则有（9分）=+12+1=21.2+1=3.4仅当，即n=12时，等号成立（13分）故：汽车使用12年报废为宜（14分）点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，基本不等式在最值问题中的应用，数列的应用，其中（I）的关键是由等差数列前n项和公式，得到f（n）的表达式，（II）的关键是根据基本不等式，得到函数的最小值点18（16分）已知函数f（x）=2（x22ax）lnxx2+4ax+1，（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（e，f（e）处的切线方程（e是自然对数的底数）；（2）求函数f（x）的单调区间考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）a=0时，f（x）=2x2lnxx2+1，f（x）=4xlnx，k=f（e）=4e，f（e）=e2+1，由此能求出曲线y=f（x）在（e，f（e）处的切线方程（2）由f（x）=2（x22ax）lnxx2+4ax+1，知x0，f（x）=（4x4a）lnx+2x4a2x+4a=（4x4a）lnx，由f（x）=0，得x=0，或x=1由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间解答：解：（1）f（x）=2（x22ax）lnxx2+4ax+1，a=0时，f（x）=2x2lnxx2+1，x0，f（x）=4xlnx，k=f（e）=4e，f（e）=e2+1，曲线y=f（x）在（e，f（e）处的切线方程ye21=4e（xe），整理得：y=4ex3e2+1；（2）f（x）=2（x22ax）lnxx2+4ax+1，x0，f（x）=（4x4a）lnx+2x4a2x+4a=（4x4a）lnx，由f（x）=0，得x=0，或x=1当a0时，由f（x）0，得x1；由f（x）0，得0x1，f（x）在（0，1）上减，在（1，+）上增；当0a1时，由f（x）0，得x1或0xa；由f（x）0，得ax1，f（x）在（a，1）上减，在（0，a），（1，+）上增；a=1时，f（x）在（0，+）上单调递增，无减区间；a1时，由f（x）0，得xa，或0x1；由f（x）0，得1xa，f（x）在（0，1），（a，+）上增，在（1，a）上减点评：本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的单调性的求法解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用19（16分）已知数列an满足，且a2=6（1）设，求数列bn的通项公式；（2）设，c为非零常数，若数列un是等差数列，记，Sn=c1+c2+cn，求Sn考点：数列递推式；数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据，可将化成，然后利用叠加法可求出数列bn的通项公式；（2）根据等差数列是关于n的一次函数，而c为非零常数，可求出c的值，从而求出cn的通项，最后利用错位相消法可求出Sn解答：解：（1），（n1）an+1=（n+1）an（n+1）当n2时，而bn+1bn=（n2）a2=6b2=3b3b2=1b4b3=bnbn1=（n3）将这些式子相加得bnb2=bn=（n3）b2=3也满足上式，b1=3不满上式（2），令n=1得a1=1an=2n2n（n2）而a1=1也满足上式an=2n2n，数列un是等差数列是关于n的一次函数，而c为非零常数c=，un=2n=，Sn=c1+c2+cn=2+4+2nSn=2+4+2n两式作差得Sn=2+2+22点评：本题主要考查数列的通项公式，以及数列的递推关系和数列的求和，同时考查了运算求解的能力，是一道综合题20（16分）设f（x）=exa（x+1）（1）若a0，f（x）0对一切xR恒成立，求a的最大值；（2）设是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；（3）是否存在正整数a使得对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：综合题；压轴题；导数的综合应用分析：（1）由f（x）=exa（x+1），知f（x）=exa，故f（x）min=f（lna）=aa（lna+1）=alna，再由f（x）0对一切xR恒成立，能amax（2）由f（x）=exa（x+1），知g（x）=f（x）+=由a1，直线AB的斜率恒大于常数m，知g（x）=exa2a=a+2=m，（a1），由此能求出实数m的取值范围（3）设t（x）=exx1，则t（x）=ex1，从而得到exx+1，取，用累加法得到由此能够推导出存在正整数a=2使得1n+3n+（2n1）n（an）n解答：解：（1）f（x）=exa（x+1），f（x）=exa，a0，f（x）=exa=0的解为x=lnaf（x）min=f（lna）=aa（lna+1）=alna，f（x）0对一切xR恒成立，alna0，alna0，amax=1（2）f（x）=exa（x+1），g（x）=f（x）+=a1，直线AB的斜率恒大于常数m，g（x）=exa2a=a+2=m，（a1），解得m3，实数m的取值范围是（，3（3）设t（x）=exx1，则t（x）=ex1，令t（x）=0得：x=0在x0时t（x）0，f（x）递减；在x0时t（x）0，f（x）递增t（x）最小值为f（0）=0，故exx+1，取，得，累加得1n+3n+（2n1）n（2n）n，故存在正整数a=2使得1n+3n+（2n1）n（an）n点评：本题考查满足条件的实数的最大值的求法，考查满足条件地实数的取值范围的求法，探索满足条件的实数的最小值综合性强，难度大解题时要认真审题，合理地运算导数性质进行等价转化