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2019 年高三上学期期末考试数学理科试题 高三数学 （理科） 学校_班级_姓名_考号_ 本试卷分第卷和第卷两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷 和答题卡一并交回。 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）设集合，则满足的集合 B 的个数是 （A） (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】因为，所以,所以 共有 4 个，选 C.3,12,3 （2）已知是实数，是纯虚数，则等于 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】因为是纯虚数，所以设.所以，所以，选 B. （3）已知为等差数列，其前项和为，若， ，则公差等于 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】因为， ，所以 ，解得，所使用，解得，选 C.1313()(6)22aS （4）执行如图所示的程序框图，输出的的值为 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】第一次循环得；第二次循环得；第三次循环得，第四次循环得，但此时,不满足条 件，输出，所以选 A. （5）若，是两个非零向量，则“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】两边平方得 ，即，所以，所以“”是“”的充要条222ababAA 件选 C. （6）已知，满足不等式组 当时，目标函数的最大值的变化范围是 0,24.xys （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】 ，当时，对应的平面区域为阴影部分， 由得，平移 直线由图象可知当直线经过点 C 时，直线的截距最大，此时解得，即，代入得。当时， 对应的平面区域为阴影部分 ODE，由得，平移直线由图象可知当直线经过点 E 时，直线 的截距最大，此时解得，即，代入得。所以目标函数的最大值的变化范围是，即，选 D. ， （7）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线 上且，则的面积为 （A）4 （B）8 （C）16 （D）32 【答案】D 【解析】双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为，所以，即。所以抛物线方程为，焦点,准线 方程，即,设, 过 A 做垂直于准线于 M,由抛物线的定义可 知,所以 ,即,所以，整理得，即，所以，所以2AKFAM ,选 D.1832FSy （8）给出下列命题：在区间上，函数,中有三个是增函数；若，则；若函数是奇函 数，则的图象关于点对称；已知函数 则方程 有个实数根， 23,()log(1)xf 其中正确命题的个数为 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】在区间上,只有，是增函数，所以错误。由，可得，即，所以，所以正确。 正确。当时， ，由，可知此时有一个实根。当时，由，得，即，所以正确。所以正确 命题的个数为 3 个。选 C. 第卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）若，且，则 【答案】 【解析】因为，所以为第三象限，所以，即 。234cos1()5 （10）图中阴影部分的面积等于 【答案】 【解析】根据积分应用可知所求面积为。 （11）已知圆：，则圆心的坐标为 ； 若直线与圆相切，且切点在第四象限，则 【答案】 【解析】圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径为 1.要使直线与圆相切，且切点在第四象 限，所以有。圆心到直线的距离为，即，所以。 （12）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 【答案】 【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为 4， ，底面梯形的上底为 4，下底为 5，腰,所以梯形的面积为，梯形的周 长为 ，所以四个侧面积为 ，所以该几345102(102)4108 何体的表面积为 。7485 （13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价,第二次提价；方案乙： 每次都提价，若，则提价多的方案是 . 【答案】乙 【解析】设原价为 1，则提价后的价格:方案甲：,乙：，因为 ，因为，所以%(1) 1%22pqppq ，即 ，所以提价多的方 2()(1)pqq 案是乙。 （14）定义映射，其中， ，已知对所有的有序正整数对满足下述条件: ；若， ； ，(1,)(,)(,)fmnffmn 则 ， 【答案】 【解析】根据定义得 。(2,)(1,2)(1,),2(1,)2fffff ，3(3,2)(1,)2(,)(2,1()62ffff ，4431 ，所以根据归纳推理可5(5,)(,)(4,)(,()30ffff 知。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15） （本小题共 13 分） 已知函数 2()3sincosfxxa （）求的最小正周期及单调递减区间； （）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值 （16） （本小题共 13 分） 已知为等比数列，其前项和为，且. （）求的值及数列的通项公式； （）若，求数列的前项和. （17） （本小题共 14 分） 如图，在菱形中， ，是的中点， 平面，且在矩形中， ， （）求证：； （）求证： / 平面； （）求二面角的大小. （18） （本小题共 13 分） 已知，函数 （）当时，求曲线在点处的切线方程； （）求在区间上的最小值 （19） （本小题共 13 分） 在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线 ， 直线过点 且与曲线交于，两点 A B CD E N M （）求曲线的轨迹方程； （）是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积；若不存在，说明理由. （20） （本小题共 14 分） 已知实数组成的数组满足条件： ； . () 当时，求，的值； （）当时，求证：； （）设,且， 求证：. 东城区 xx 第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 （理科） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）C （2）B （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） （10） （11） （12） （13）乙 （14） 注：两个空的填空题第一个空填对得 3 分，第二个空填对得 2 分 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15） （共 13 分） 解：（） 31cos2()sin2xfxa .3 分 所以4 分 由 ，3226kxk 得 故函数的单调递减区间是（） 7 分 （）因为， 所以 所以10 分 因为函数在上的最大值与最小值的和 ，113()()22aa 所以13 分 （16） （共 13 分） 解：（）当时，.1 分 当时，.3 分 因为是等比数列， 所以，即5 分 所以数列的通项公式为.6 分 （）由（）得 .1(21)()2nnnba 则 . 311357()nnT . 22 (2)n -得 9 分21nn 11()()n 14)(n .12 分 所以.13 分 （17） （共 14 分） 解：（）连结，则. 由已知平面， 因为， 所以平面.2 分 又因为平面， 所以.4 分 （）与交于，连结. 由已知可得四边形是平行四边形， 所以是的中点. 因为是的中点， 所以.7 分 又平面， 平面， F A B C D E N M y x z 所以平面. 9 分 （）由于四边形是菱形，是的中点，可得. 如图建立空间直角坐标系，则，, ， . ，.10 分 设平面的法向量为. 则 所以 320,7.xyz 令. 所以.12 分 又平面的法向量， 所以. 所以二面角的大小是 60. 14 分 （18） （共 13 分） 解：（）当时， ， ， 所以，.2 分 因此 即曲线在点处的切线斜率为. 4 分 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即6 分 （）因为，所以 令，得 8 分 若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值 若，当时， ，函数在区间上单调递减， 当时， ，函数在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值10 分 若，则当时， ，函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最小值12 分 综上可知，当时，函数在区间上无最小值； 当时，函数在区间上的最小值为； 当时，函数在区间上的最小值为13 分 （19） （共 13 分） 解.（）由椭圆定义可知，点的轨迹 C 是以，为焦点，长半轴长为 的椭 圆3 分 故曲线的方程为 5 分 （）存在面积的最大值. 6 分 因为直线过点，可设直线的方程为 或（舍） 则 21,4.xym 整理得 7 分 由 22()1(4)0 设 解得 ， 则 因为 10 分2223143m 设， ， 则在区间上为增函数 所以 所以，当且仅当时取等号，即 所以的最大值为13 分 （20） （共 14 分） ()解： 由（1）得，再由（2）知，且. 当时，.得，所以 2 分 12,.x 当时，同理得 4 分 12,.x （）证明：当时， 由已知,. 所以 123123()xxx .9 分 （）证明：因为，且. 所以, 即 .11 分n1i1 12nniiiaxax ) .14 分
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