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3.1.1不等关系与不等式,教学目标,1使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组. 2. 学习如何利用不等式表示不等关系，利用不等式的有关基本性质研究不等关系； 3通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生的学习方式，提高学习质量。,在考察事物之间的数量关系时，经常要对数量的大小进行比较，我们来看下面的例子。,国际上常用恩格尔系数（记为n）来衡量一个国家和地区人民的生活水平的高低。,它的计算公式是 。,有关机构还制定了各种类型的家庭应达到的恩格尔系数的取值范围：,例根据某乡镇家庭抽样调查的统计，2003年每户家庭年平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元。预测2003年后，每户家庭年平均消费支出总额每年增加3000元，如果2005年该乡镇居民生活状况能达到小康水平（即恩格尔系数n满足条件40%n50%），试问这个乡镇每户食品消费额平均每年的增长率至多是多少？（精确到0.1）,我们用数学符号“”，“”，“”，“”，“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做不等式。,你能理解“”，“”的含义么？ab，ab 分别为什么含义？,练习1：若需在长为4000mm圆钢上，截出长为698mm和518mm的两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组？,分析: 设698mm与518mm分别x与y个,练习2 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。请用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。,分析:设分别生产甲乙两种肥料为x吨,y吨,数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。,（一）两个实数大小的比较,在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种：,（1）点A和点B重合； （2）点A在点B的右侧； （3）点A在点B的左侧。,在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由此可得到结论：,对于任意两个实数a和b，在a=b，ab，ab三种关系中有且仅有一种关系成立。,如果ab是正数，则ab；如果ab，则ab为正数；如果ab是负数，则ab；如果ab，则ab为负数；如果ab等于零，则a=b；如果a=b，则ab等于零。,通常，“如果p，则q”为正确命题，则简记为 ，读作“p推出q”.,思考：如何在没有任何度量工具的情况下， 确定高矮差不多的两个同学的身高？,如果 都是正确的命题，记为 读作“p等价于q或q等价于p”。,上述结论可以写成：,例1下列各判断是否正确，说明理由。,类型一 不等式的有关概念,例2比较x2x与x2的大小。,解：(x2x)(x2)=x22x+2 =(x1)2+1，,因为(x1)20， 所以(x2x)(x2)0，,因此x2xx2.,类型二 作差比较大小,例3当p，q都是正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与px2+qy2的大小。,解：(px+qy)2(px2+qy2) =p(p1)x2+q(q1)y2+2pqxy.,因为p+q=1，所以p1=q，q1=p，,因此(px+qy)2(px2+qy2) =pq(x2+y22xy)=pq(xy)2，,因为p，q为正数，因此(px+qy)2px2+qy2. 当且仅当x=y时，不等式中等号成立。,类型三 作差的应用,例4 已知a、b为正实数，证明,例4 已知a、b为正实数，证明,类型三 作差的应用,例5 已知 试比较 的大小关系,例5 已知 试比较 的大小关系,通过这道题，比较大小除了做差法，还可以利用作商法，说说，它的步骤。,1、若a0，1b0，则有 ( ) A、aabab2 B、ab2aba C、abaab2 D、abab2a 2、已知 ，那么 的大小关系是（ ） A、 B、 C、 D、,D,D,解： a4-b4 - 4a3(a-b) =(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b) = (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) (a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3) = - (a-b)2(3a3+2ab+b2) =- (a-b)2,(当且仅当ab时取等号) a4-b44a3(a-b),说明：“变形”是解题的关键，是最重一步,因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法,3、比较a4-b4 与4a3(a-b)的大小,4、已知xy且y0，比较 与1的大小,5、比较 与 的大小,6、已知 比较 与 的大小,今天你收获到了什么？,2.比较实数大小的依据:,3.比较实数大小的方法与基本步骤：,小结,1.不等关系与不等式：,再见,
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