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1.1 回归分析的基本思想 及其初步应用（三） 非线性回归模型,复习回顾,1、线性回归模型：y=bx+a+e (其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差)。,2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称 为残差。,3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得 的值平方后加起来，用数学符号表示为： 称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。,4 、我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：,注：R2 1，说明回归方程拟合的越好； R20，说明回归方程拟合的越差。,6.建立回归模型的基本步骤 1)确定解释变量x和预报变量y; 2)画出散点图; 3)确定回归方程类型; 4)求出回归方程; 5)利用相关指数或残差进行分析.,5.回归分析的一般方法： 1）.利用散点图观察两个变量是否线性相关 2）.利用残差来判断模型拟合的效果(残差分析) 利用残差图来分析数据，对可疑数据(残差较大的数据)进行重新调查，有错误就更正，然后重新利用回归模型拟合，如果没有错误，则需要找其他原因。,练习；关于x与y有如下数据： 有如下的两个线性模型： （1） ；（2） 试比较哪一个拟合效果更好。,例2：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：,（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为 28oC时产卵数目。 （2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？,问题四：若两个变量呈现非线性回归关系，如何解决？（分析例2）,例2：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中，试建立y与x之间的回归方程,解:作散点图;,从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能用 线性回归模型来很好地近似。 这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。,问题四：若两个变量呈现非线性回归关系，如何解决？（分析例2）,方法一：一元函数模型,问题四：若两个变量呈现非线性回归关系，如何解决？（分析例2）,奇怪？,思考：9366 ? 模型不好？,问题四：若两个变量呈现非线性回归关系，如何解决？（分析例2）,y= c1 x2+c2 变换 y= c1 t+c2 非线性关系 线性关系,问题3,令 t=x2,方法二，二元函数模型,问题四：若两个变量呈现非线性回归关系，如何解决？（分析例2）,问题四：若两个变量呈现非线性回归关系，如何解决？（分析例2）,问题,产卵数,气温,两边取对数,问题四：若两个变量呈现非线性回归关系，如何解决？（分析例2）,方法三：指数函数模型,问题四：若两个变量呈现非线性回归关系，如何解决？（分析例2）,（1）由上表显而易见，指数函数模型最好！,问题四：若两个变量呈现非线性回归关系，如何解决？（分析例2）,思考：最好的模型是哪个?,线性模型,二次函数模型,指数函数模型,则回归方程的残差计算公式分别为：,（2）另外由计算可得：,问题四：若两个变量呈现非线性回归关系，如何解决？（分析例2）,故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好.,解: 令 则z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出变换后数据表并画 出x与z 的散点图,x和z之间的关系可以用线性回归模型来拟合,注：应用统计方法解决实际问题需要注意的问题： 对于同样的数据，有不同的统计方法进行分析， 我们要用最有效的方法分析数据。可以利用直观（散点 图和残差图）、相关指数来确定哪一个模型的拟合效果更好。,如本例中现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合红铃虫的产卵数与温度 数据，他们分别是：,我们可以利用直观（散点图和残差图）、相关指数来确定哪一个模型的拟 合效果更好。,小结：,1.对于给定的样本点 两个含有未知参数的模型：,其中a和b都是未知参数。用残差法对拟合效果比较的步骤为： （1）分别建立对应于两个模型的回归方程 与 其中 和 分别是参数a和b的估计值； （2）分别计算两个回归方程的残差平方和 （3）对两个回归方程的残差平方和比大小，残差平方和越 小的拟合效果越好，残差平方和越大的拟合效果越差。,注：当回归方程不是形如y=bx+a时，我们称之为非线性回归方程.,2.在散点图中，若样本点没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.所以需要设非线性回归方程，进而通过一系列转化，将其转化为线性回归模型区解决。用线性回归模型解决非线性相关问题思路： （1）对数型非线性模型通过两边取对数可以转化为线性模型。 （2）二次函数型非线性模型通过两边设元法可以转化为线性模型。,小结：,例1 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：,求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,解：,例1 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：,求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。,解：列出残差表为,0.994,因而，拟合效果较好。,0,0.3,-0.4,-0.1,0.2,4.6,2.6,-0.4,-2.4,-4.4,练习 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料。,若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求： （1）线性回归方程 的回归系数 ； （2）求残差平方和； （3）求相关系数 ； （4）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？,解：,（1）由已知数据制成表格。,所以有,小结,回归分析基本思想及其初步应用,基本思想,实际应用,回归分析,相关性方法分析,回归优劣分析,总偏差平方和,残差平方和,回归平方和,
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