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3.3.2函数的极值与导数,高二数学 选修1-1,一、复习导入-复习旧课,1.,解,f(x)在(-，-4)、 (2，)内单调递增，,你记住了吗？,有没搞错， 怎么这里没有填上？,求导数求临界点列表写出单调性,+,+,-,f (x)0 (x+4)(x-2)0 x2,f(x)在(-4，2)内单调递减。,f (x)0 (x+4)(x-2)0 -4x2,还记得高台跳水的例子吗？,一、复习导入-导入新课,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,一、复习导入-导入新课,单调递增 h (t)0,单调递减 h (t)0,h (a)0,2.跳水运动员在最高处附近的情况：,(1)当t=a时运动员距水面高度最大， h(t)在此点的导数是多少呢？,(2)当ta时h(t)的单调性是怎样的呢？,(3)当ta时h(t)的单调性是怎样的呢？,将最高点附近放大,t=a,ta,ta,导数的符号有什么变化规律？,在t=a附近，f(x)先增后减，h (x)先正后负， h (x)连续变化，于是有h (a)=0f(a)最大。,对于一般函数是否也有同样的性质吗？,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,一、复习导入-导入新课,探究,3.(1) 如图，y=f(x)在c、d等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？,c d e f o g h I j x,y,一、复习导入-导入新课,3.(2) 如图，y=f(x)在a、b点的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系？ 导数值呢？导数符号呢？,探究,x,y,o,a,b,y-=f(x),0,0,0,0,极小值点,极大点,f (a)=0,f (b)=0,二、讲授新课-了解概念,什么是极小值点、极小值、 极大值点、极大值、极值点、极值？,f(a),f(b),小结,极大值点和极小值点 统称为极值点,极大值和极小值 统称为极值,a,b,x,y,O,定义,一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有,我们就说 f (x0)是 f (x) 的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点.,反之, 若 , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极小值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点.,极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.,观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.,1理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的 (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 (3)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值,总结,(4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1),(5)若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 2导数为0的点不一定是极值点,练习1,下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.,a,b,x,y,x1,O,x2,x3,x4,x5,x6,探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？,结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即: f (x)=0,f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,思考;若 f (x0)=0，则x0是否为极值点？,若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?,思考,探索: x =0是否为函数f(x)=x3 的极值点?,f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.,f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0 注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?,极大值,极小值,即: 极值点两侧单调性互异,f (x)0,x1,极大值点两侧,极小值点两侧,f (x)0,f (x)0,f (x)0,探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?,x2,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x) 0,注意:(1) f(x0) =0， x0不一定是极值点,(2)只有f(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f(x0) =0的点，再列表判断单调性,结论：极值点处，f(x) =0,因为 所以,例1 求函数 的极值.,解:,令 解得 或,当 , 即 , 或 ; 当 , 即 .,当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;,当 x = 2 时, f (x)有极小值 4 / 3 .,例题4图像,-2,o,x,y,2,+,-,-,+,28/3,-4/3,f(x)=1/3 x3-4x+4,例2,所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2,导函数的正负是 交替出现的吗？,不是,极大值,极小值,求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f(x)=0的根 （3）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 若f (x)左正右负，则f(x)为极大值； 若 f (x)左负右正，则f(x)为极小值,求导求极点列表求极值,练习2,求下列函数的极值:,解:,令 解得 列表:,+,单调递增,单调递减,所以, 当 时, f (x)有极小值,练习2,求下列函数的极值:,解:,解得 列表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ;,当 x = 3 时, f (x)有极小值 54 .,练习2,求下列函数的极值:,解:,解得,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极小值 10 ;,当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .,解得,所以, 当 x = 1 时, f (x)有极小值 2 ;,当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .,思考,(1)导数为0的点一定是 函数的极值点吗？,例如：f(x)=x3,f (x)=3x20,f (0)=302=0,结论,若f(x0) 是极值，则f (x0)=0。 反之， f (x0)=0，f(x0)不一定是极值,y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x)在这点取得极值的 必要条件。,思考,(2).极大值一定比极小值大吗？,极值是函数的局部性概念,结论：不一定,极大值,极小值,极小值,函数的性质,单调性,单调性的判别法,单调区间的求法,函数极值,函数极值的定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,函数极值的求法,必要条件,求极值的步骤:1.求导，2.求极点，3.列表，4.求极值,1.求导，2.求临界点 3. 列表，4.单调性,思考：已知函数 在 处取得极值。 （1）求函数 的解析式 （2）求函数 的单调区间,
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