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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 必修3,概 率,第三章,2 古典概型,第三章,2.3 互斥事件,“鱼与熊掌不可兼得”新解：解说一：鱼和熊掌同时放在锅里炖，鱼先熟熊掌后熟，如果要鱼那熊掌就不能吃，如果要熊掌那鱼就过火了，故“二者不可兼得”解说二：熊要吃鱼，要保护鱼就要饿死熊，保护熊就要吃掉鱼，故“二者不可兼得”在生活中我们常常会遇到这样的两个事情，它们不能同时发生，你是取“鱼”，还是取“熊掌”？,1互斥事件 在一个随机试验中，我们把一次试验下_的两个事件A与B称作互斥事件 2事件A与B的和 给定事件A，B，我们规定事件AB是一个事件，事件AB发生是指_对于三个或三个以上事件，结论同样成立,不能同时发生,事件A和B至少有一个发生,3互斥事件的概率加法公式 在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有P(AB)_.对于三个或三个以上事件，上式结论同样成立，即如果事件A1，A2，A3，An是互斥事件，则有P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An),P(A)P(B),同时发生,必有一个发生,特别提示 互斥事件与对立事件的异同 不同点是： 1由定义，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件； 2对立事件是针对两个事件来说的，而互斥事件可以是两个事件，也可以推广到n(nN)个事件； 3在一次试验中，互斥的两个事件可能都不发生，但是对立的两个事件必然有一个发生,相同点是：这两种类型的事件都不可能同时发生 利用集合的观点来判断 设事件A与B它们所含的结果组成的集合分别是A、B，若事件A与B互斥，即集合AB；若事件A与B对立，即集合AB，且ABI，也即AIB或BIA；对互斥事件A与B的和AB，可理解为集合AB.,1一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A至多有一次中靶 B两次都中靶 C两次都不中靶 D只有一次中靶 答案 C 解析 “至少有一次中靶”即为“一次中靶或两次中靶”，据互斥事件是不能同时发生的这一定义知，应选C.,2甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为( ) A60% B30% C10% D50% 答案 D 解析 甲不输棋包含甲获胜或甲、乙二人下成和棋，则甲、乙二人下成和棋的概率为90%40%50%.,3从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A至少有1个黑球与都是黑球 B至少有1个黑球与至少有1个红球 C恰有1个黑球与恰有2个黑球 D至少有1个黑球与都是红球 答案 C,解析 “从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球”这一事件共包含3个基本事件，关系如图所示. 显然恰有1个黑球与恰有2个黑球互斥但不对立,4从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在200,300克的概率为0.5，那么重量小于等于300克的概率为_ 答案 0.7 解析 重量小于等于300克包含两种情况，重量小于200克和重量在200,300克两种情况，所以重量小于等于300克的概率为0.20.50.7.,5袋内装有大小相同的红球、白球和黑球各若干个，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.3，摸出黑球的概率是0.6，则摸出白球的概率是_ 答案 0.1 解析 设摸出红球为事件A，摸出黑球为事件B，摸出白球为事件C，则事件A、B、C两两互斥，且事件C与AB对立，所以P(C)1P(A)P(B)10.30.60.1.,“互斥事件”与“对立事件”的区别和联系,思路分析 解答本题可先判断每一组的两个事件能否同时发生，进而再判断是否必有一个发生，然后再下结论 规范解答 (1)是互斥事件，不是对立事件 理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件但其并事件不是必然事件所以不是对立事件,(2)不是互斥事件，从而也不是对立事件 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可同时发生 (3)不是互斥事件，从而也不是对立事件 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生,(4)是互斥事件，也是对立事件 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是对立事件,规律总结 判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生，若不同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生如果这两个条件同时成立，那么这两个事件就是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件,下列给出的每对事件，是否为互斥事件？是否为对立事件？并说明理由 从40张扑克牌(红心、黑桃、方块、梅花，点数从110各10张)中，任意抽取1张 (1)“抽出红心”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”,分析 根据互斥事件和对立事件的定义，互斥事件是指不可能同时发生的事件，而对立事件是指在一次试验中不可能同时发生并且一定有一个发生的两个事件 解析 (1)是互斥事件，不是对立事件 理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红心”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能“抽出方块”或者“抽出梅花”，因此二者不是对立事件,(2)既是互斥事件，又是对立事件 理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件 (3)不是互斥事件，也不是对立事件 理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件.,互斥事件的概率计算,思路分析 由题意知从袋中取球得到黑球、黄球和绿球的事件是互斥事件，因此摸到两种或两种以上球的概率可以用互斥事件的概率加法公式，本题中是已知的概率，求各自的概率，我们只需建立方程，便可求出,规律总结 (1)公式P(AB)P(A)P(B)，只有当A，B两事件互斥时才能使用，如果A，B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“AB”的意义,分析 (1)抛掷骰子，事件“出现3点”和“出现6点”是彼此互斥的，可运用概率的加法公式求解. (2)本题是求AB的概率，而A与B是互斥事件，所以P(AB)P(A)P(B),对立事件的概率的计算,思路分析 “该生属于不止1个社团”分为属于2个社团，3个社团两种情况，若直接求解，则较为复杂，可考虑利用其对立事件求解,规律总结 (1)求复杂事件的概率通常有两种方法： 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率 (2)涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解,2014年8月1日贵诚购物中心举行“庆祝建军节回报顾客”的超低价购物有礼活动，某人对购物中心交款处排队等候付款的人数及其概率统计如下： 求：(1)至多30人排队的概率； (2)至少31人排队的概率,解析 (1)记“010人排队”为事件A，“1120人排队”为事件B，“2130人排队”为事件C，A，B，C三个事件彼此互斥，故所求概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56. (2)记“至少31人排队”为事件D，由(1)知“少于31人排队”为ABC，那么事件D与事件ABC互为对立事件，则P(D)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)10.10.160.30.44.,互斥事件与对立事件的应用,规律总结 概率加法公式只适用于互斥事件的概率问题，因此，在应用此公式前必须先判断它们是否互斥，以免导致解题错误在解决概率问题时，要注意灵活使用对立事件的概率公式进行求解，以提高解题速度,一个盒中装有除颜色外完全相同的12个球，其中有5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球从中随机取出1球，求： (1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率,错解 A,辨析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生,正解 事件“甲穿黄衣”与“乙穿黄衣”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，也有可能两个都不发生，它们为互斥但不对立事件，所以应选C. 规律总结 正确理解并掌握互斥事件，对立事件的概念，掌握两者间的区别联系，是解决此类问题的关键,
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