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文数 课标版,第六节 概率与统计的综合问题,考点一 茎叶图与概率的综合问题 典例1 甲、乙两位学生参加某项竞赛培训,在培训期间,他们参加的5 次预赛成绩的茎叶图记录如下: (1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙的成绩高 的概率; (2)现要从中选派一人参加该项竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派 哪位学生参加合适?说明理由.,考点突破,解析 (1)记甲被抽到的成绩为x,乙被抽到的成绩为y,用数对(x,y)表示 基本事件: (82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85),(82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82, 85),(79,95),(79,75),(79,80),(79,90),(79,85),(95,95),(95,75),(95,80),(95,90), (95,85),(87,95),(87,75),(87,80),(87,90),(87,85), 基本事件总数n=25, 记“甲的成绩比乙的成绩高”为事件A,事件A包含的基本事件如下: (82,75),(82,80),(82,75),(82,80),(79,75),(95,75),(95,80),(95,90),(95,85), (87,75),(87,80),(87,85), 事件A包含的基本事件数m=12,所以P(A)= = . (2)派甲参赛比较合适.理由如下: =85, =85, =31.6, =50, 因为 = , , 所以甲的成绩较稳定, 故派甲参赛比较合适.,规律总结 解决此类问题的关键是根据茎叶图正确读取相关数据.,1-1 (2016湖南长沙模拟)空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是 定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级:050 为优;51100为良;101150为轻度污染;151200为中度污染;201300为 重度污染;大于300为严重污染.一环保人士记录去年某地某月10天的 AQI的茎叶图如图. (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI100)的天数;(按这个,月总共30天计算) (2)若从样本中的空气质量不佳(AQI100)的这些天中,随机抽取2天深 入分析各种污染指标,求这2天的空气质量等级恰好不同的概率. 解析 (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1,空气质量 良的天数为3, 故该样本中空气质量优良的频率为 = , 估计该月空气质量优良的频率为 , 从而估计该月空气质量优良的天数为30 =12. (2)该样本中轻度污染共4天,分别记为a1,a2,a3,a4;中度污染1天,记为b;重 度污染1天,记为c,从中随机抽取2天的所有可能结果为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b),(a1,c),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b),(a2,c),(a3,a4),(a3,b),(a3,c),(a4,b),(a4,c), (b,c),共15个. 其中空气质量等级恰好不同的结果有(a1,b),(a1,c),(a2,b),(a2,c),(a3,b), (a3,c),(a4,b),(a4,c),(b,c),共9个. 所以这2天的空气质量等级恰好不同的概率为 = .,考点二 频率分布直方图与概率的综合问题 典例2 (2015课标,18,12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得 到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分 的频数分布表.,B地区用户满意度评分的频数分布表,(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比 较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出 结论即可); (2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:,估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.,解析 (1) 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满 意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满,意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散. (2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)10=0.6, P(CB)的估计值为(0.005+0.02)10=0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.,规律总结 概率统计解答题的主要依托点是统计图表,正确认识和使用这些图表是 解决问题的关键.,2-1 从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高,测量发 现被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间,将测量结果按如下方式 分成八组:第一组155,160)、第二组160,165)、第八组190,195, 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与 第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.,(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人 数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生,记他 们的身高分别为x,y,求满足|x-y|5的概率. 解析 (1)由频率分布直方图知,前五组频率之和为(0.008+0.016+0.04+ 0.04+0.06)5=0.82, 则后三组频率之和为1-0.82=0.18, 故这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数约 为8000.18=144.,(2)由频率分布直方图知第八组频率为0.0085=0.04,人数为0.0450=2, 由(1)知后三组人数之和为0.1850=9, 设第六组人数为m,则第七组人数为9-2-m=7-m, 又m+2=2(7-m),所以m=4, 即第六组人数为4,第七组人数为3,频率分别为0.08,0.06. 频率除以组距分别等于0.016,0.012,频率分布直方图如图所示.,考点三 统计案例与概率的综合问题 典例3 (2016湖北武汉模拟)随机抽取某城市一年内100天的空气质量 指数(AQI)的监测数据,结果统计如下表:,(1)已知某企业每天的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x的关系 式为y= 若在本年内随机抽取一天,试估计这一天的 经济损失超过400元的概率; (2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为严重污染.根 据提供的统计数据,完成下面的22列联表,并判断是否有95%的把握认 为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”.,附:K2=,解析 (1)记“在本年内随机抽取一天,该天的经济损失超过400元”为 事件A. 由y400,得x200. 由统计数据可知,空气质量指数大于200的频数为35, 所以P(A)= = . (2)根据题设中的数据得到如下22列联表:,将22列联表中的数据代入公式计算,得 K2= 4.575. 因为4.5753.841, 所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”.,规律总结 运用独立性检验的思想,可以考察两个分类变量是否有关系,并且能精 确地给出这种判断的可靠程度,此类题在高考中常以选择题或解答题中 的某一步的形式出现,并常与频数分布表和频率分布直方图有关知识相 结合,难度中等.求解时,一般按以下三个步骤来完成:(1)根据样本数据制 成22列联表;(2)根据公式计算K2的值;(3)比较K2的值与临界值的大小关 系,作出统计推断.,3-1 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4 月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与 每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:,(1)从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为m,n,求事件“m,n均 不小于25”的概率; (2)从这5天中任选2天,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据,请根据 这5天中的另外3天的数据,求出y关于x的回归方程 = x+ ; (3)若由回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2,则认为得到的回归方程是可靠的,试问(2)中所得的回归方程是否可 靠? 附:,解析 (1)所有的基本事件为(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30), (25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个. 设“m,n均不小于25”为事件A,则事件A包含的基本事件为(25,30), (25,26),(30,26),共3个. 所以P(A)= . (2)由题意得 =12, =27, xiyi=977, =434, 所以 = = , 则 =27- 12=-3, 所以y关于x的回归方程为 = x-3.,(3)当x=10时, =22,|22-23|2; 当x=8时, =17,|17-16|2, 所以(2)中所得的回归方程是可靠的.,
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