广东省北大附中深圳南山分校2011届高三上学期期末试题数学(理).doc

广东省北大附中深圳南山分校2011届高三上学期期末试题 数学(理科) 2011.1.13参考公式：锥体的体积公式，其中S为锥体的底面积，和h为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上1.设全集U=1，2，3，4，5，集合M=1， 3，5，N=3，4，5，则集合(UM)N= A. 4 B. 2，3，4，5 C. 1， 3，4，5 D. 2.若复数z1=3+i，z2=2i，则在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在下列函数中，是奇函数的有几个f(x)=sin(x)； ； f(x)=x3x； f(x)=2x+2-x.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第4题图4.为了解地震灾区高三学生的身体发育状况，抽查了该地区100名年龄为17岁18岁的男生体重(kg)，得到如图频率分布直方图. 根据右图可知体重在56.5，64.5)的学生人数有A.20人B.30人C.40人 D.50人5.在2010年开展的全国第六次人口普查中发现，某市市民月收入 (单位：元)服从正态分布N(3000，2)，且P(0.5)，且各局胜负相互独立. 已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.()求实数p的值；()如图为统计比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图. 其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1.请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件；()设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望E.18.(本小题满分14分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，设AE=x(0x2).()证明：A1D D1E；() 当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；()x为何值时，二面角D1-EC=D=的大小为450.DCBA1EAB119.(本小题满分14分)设函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2(其中e是自然对数的底数)，已知x=2和x=1为函数f(x)的极值点.()求实数a和b的值；()讨论函数f(x)的单调性；()是否存在实数M，使方程f(x)=M有个不同的实数根? 若存在，求出实数M的取值范围；若不存在，请说明理由.20.(本小题满分14分)已知等差数列an中，a1=1，前12项和S12=186()求数列an的通项公式；()若数列bn满足，记数列bn的前n项和为Tn，若不等式Tn0)，它的长轴长为2a(ac0)，直线l：与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点()求椭圆的方程和离心率；()若，求直线PQ的方程；()设 (1)，过点P且平行于直线的直线与椭圆相交于另一点M，证明： (命题人：南头中学 万秉生 审题人：区教研室 罗诚)广东省北大附中深圳南山分校2011届高三上学期期末试题数学(理科) 参考答案及评分标准 2011.1.13一、选择题：（85=40）题 号12345678答 案AACCBCDB二、填空题：(65=30)9、6； 10、4； 11、2； 12、； 13、sinx； 14、2； 15、.三、解答题：（80）16. (本小题满分12分)解：()， 2分 又 3分， 4分 . 6分() ， 8分， 10分xR， 11分所以函数f(x)的最小正周期为2，值域为2，2 12分17. (本小题满分12分)解：()依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束.有. 2分解得或. 3分，. 4分()程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6. 8分注意：答案不唯一 如：第一个条件框填M1，第二个条件框填n5，或者第一、第二条件互换，都可以.()依题意知，的所有可能值为2，4，6 9分由已知 ，. 11分随机变量的分布列为：246PDCBA1EAB1C1D1故. 12分18. (本小题满分14分)解法一:() 证明：AE平面AA1DD1，A1D平面AA1DD1， A1DAE， 1分AA1DD1为正方形， A1DAD1， 2分又A1D AE=A，A1D平面AD1E， 3分A1DD1E. 4分() 设点E到面ACD1的距离为h，在ACD1中，故，而， 6分 ， 8分即 ，从而，所以点E到面ACD1的距离为. 9分() 过D作DHCE于H，连D1H，则D1HCE，DHD1为二面角D1-EC-D的平面角，DHD1=450. 11分D1D=1，DH=1，又DC=2，DCH=300， 12分ECB=600，又BC=1，在RtEBC中，得， 13分，时，二面角D1-EC-D的大小为450. 14分解法二：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A (1，0，0)，C(0，2，0)， 2分() ，因为，所以， 6分()由E为AB的中点，有E(1，1，0)，从而，设平面ACD1的法向量为，则，也即，得，从而， 8分所以点E到平面ACD1的距离为 10分() 显然是平面AECD的一个法向量.设平面D1EC的法向量为，由， 令b=1，c=2，a=2x， 12分依题意.（不合题意，舍去），.时，二面角D1-EC-D的大小为450. 14分19. (本小题满分14分)解:()f (x)=(x2+2x)ex-1+3ax2+2bx， 1分 又x=2和x=1为函数f(x)的极值点.f (2)= f (1)=0， 2分即，解得， 3分所以，b=1. 4分() ，b=1， f (x)=(x2+2x)ex-1x22x=(x2+2x)(ex-11)， 5分令f (x)=0，解得x1=2，x2=0，x3=1， 6分 当x(，2)(0，1)时，f (x)0， 8分f(x)在区间(2，0)和(1，+)上是单调递增的，在区间(，2)和(0，1)上是单调递减的. 9分 ()由()得，由()得函数的极大值为f(x)极大值= f(0)=0， 10分函数的极小值为 ，和 11分又， 12分f(3)= (3)2e-4+99=9e-40，f(3)= 32e299=9(e22)0， 13分通过上面的分析可知，当时方程f(x)=M恰有4个不等的实数根所以存在实数M，使方程f(x)=M有4个根，其M取值范围为. 14分20. (本小题满分14分)解:()设等差数列an的公差为d， a1=1，S12=186， ， 2分即 186=12+66d. 4分d=3. 5分所以数列an的通项公式 an=1+(n1)3=3n4. 7分()，an=3n4，. 8分 当n2时， 9分 数列bn是等比数列，首项，公比. 10分. ， . 所以. 12分又不等式Tn0，得. 7分设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则， 8分由直线PQ的方程得为y1=k(x13)，y2=k(x23)，于是，y1y2=k2(x13) (x23)= k2x1x23(x1+ x2)+9. ，x1x2+y1y2=0 9分由得5k2=1，从而所以直线PQ的方程为或 10分()证明：P(x1，y1)，Q(x2，y2)， A(3，0)，由已知得方程组，注意1，解得， 12分因为F(2，0)， M(x1，y1)，故. 13分而，所以. 14分第 9 页 共 9 页