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,等 比 数 列,忆一忆,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。,国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推，即每一个格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到第64个格子放满为止。” 国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗？,左图为国际象棋的棋盘，棋盘有8*8=64格,1 2 3 4 5 6 7 8,1 2 3 4 5 6 7 8,曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”,庄子,意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。,如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为：,一种计算机病毒可以查找计算机中的地址本,通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：,1，,20，,202 ，,203，,比一比,共同特点:,从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。,(1),(2),(3）,9，92，93，94，95，96， 97,（4）,以上4个数列有什么共同特点？,等比数列定义,一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。(q0）,或,其定义式为：,go,注意：,1. 公比是等比数列从第2项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。,2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数。,go,思考:,(1) 等比数列中有为0的项吗？ (2) 公比为1的数列是什么数列？ (3) 既是等差数列又是等比数列的数列 存在吗？ (4) 常数列都是等比数列吗？,判定下列数列是否可能是等比数列？ 若是，说明公比；若不是，说出理由 1、 263 ，16，8，4，2，1； 2、 5，-25，125，- 625，； 3、 1，2，3，6，12，24，48; 4 、 1，0，1，0，1，； 5、 1，1，1，1，； 6、 0，0，0，0，0，.； 7、 a, a, a, a, ；,练一练,go,思考：等比数列中,(1)公比q为什么不能等于？首项能等于吗？第n项能为0吗？,(2)公比q=1时是什么数列？,注意：,(1)公比q0，an0(nN)；,(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；,想一想,go,给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准. 2，1，4，7，10，13，16，19， 8，16，32，64，128，256， 1，1，1，1，1，1，1， 243，81，27，9，3，1， 31，29，27，25，23，21，19，,做一做,学以致用,go,由此可知，等比数列的通项公式为,等比数列 an 中,有:,(q不为0),n为正整数,等比数列通项公式的推导,方法一: 递推法,等比数列通项公式的推导,方法二: 累乘法,通项公式一:,等比数列的通项公式:,通项公式二:,an+1-an=d,d 叫公差,q叫公比,an= a1+(n-1)d,an=a1qn-1,an=am+(n-m)d,an=amqn-m,等差数列与等比数列对比记忆表,例1.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项,解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么,答：这个数列的第1项与第2项分别为 与 8,消元,讲解范例:,例2. 求下列各等比数列的通项公式：,(1) a12, a38; (2) a15, 且2an13an.,讲解范例:,例3. 某种放射性物质不断变化为其他 物质，每经过一年剩留的这种物质是 原来的84%.这种物质的半衰期为多长 (精确到1年)？,讲解范例:,例4. 已知数列an满足 a11，an+12an1.,(1)求证数列an+1是等比数列； (2)求an的表达式.,等比数列的通项公式练习1,求下列等比数列的通项公式，并求出其第，5项：,（2）1.2，2.4，4.8，,（1） 5，-15，45，,练一练:,3.每次用相同体积的水洗一件衣物,且每次能洗去污垢的3/4,若洗n次后,存留的污垢在1%以下,则n的最小值为多少?,2.等比数列an中,a1+a3=10,a4+a6=5/4, 求a2的值.,解：设洗之前的污垢为1个单位.,洗1次 剩下污垢为 (1-3/4)=1/4 洗2次 剩下污垢为 (1/4)2,则每洗1次剩下是的污垢是前一次的1/4,构成一个等比数列 an . an=(1/4)n 当n=4时, a4= (1/4)4=1/2561% 答: n的最小值为4.,作 业,
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