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第三章 数列第一教时教材：数列、数列的通项公式目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。过程： 一、从实例引入（P110）1 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,102 正整数的倒数 34 -1的正整数次幂：-1,1,-1,1,5 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,二、提出课题：数列1 数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）2 名称：项，序号，一般公式，表示法3 通项公式：与之间的函数关系式如 数列1： 数列2： 数列4：4 分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列； 有穷数列、无穷数列。5 实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集1，2，n）的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。6 用图象表示： 是一群孤立的点 例一 （P111 例一 略） 三、关于数列的通项公式1 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）2 数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 和 3 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要例二 （P111 例二）略 四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前项分别是下列 各数：11，0，1， 0 2， 37，77，777，7777 4-1，7，-13，19，-25，31 5， 五、小结： 1 数列的有关概念2 观察法求数列的通项公式 六、作业： 练习 P112 习题 31（P114）1、2 课课练中例题推荐2 练习 7、8第二教时教材：数列的递推关系目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n项。过程：一、 复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）二、例一：若记数列的前n项之和为Sn试证明： 证：显然时 ， 当即时 注意：1 此法可作为常用公式 2 当时 满足时，则例二：已知数列的前n项和为 求数列的通项公式。 解：1当时， 当时， 经检验 时 也适合 2当时， 当时， 三、递推公式 （见课本P112-113 略） 以上一教时钢管的例子 从另一个角度，可以： “递推公式”定义：已知数列的第一项，且任一项与它的前 一项（或前项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的递推公式。 例三 （P113 例三）略 例四 已知， 求 解一：可以写出：， 观察可得： 解二：由题设： 例五 已知， 求 解一： 观察可得： 解二：由 即 四、小结： 由数列和求通项 递推公式 （简单阶差、阶商法） 五、作业：P114 习题31 3、4 课课练 P116-118 课时2中 例题推荐 1、2 课时练习 6、7、8第三教时教材：等差数列（一）目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并能用来解决有关问题。过程：一、 引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10， 3，0，-3，-6， ， 12，9，6，3， 特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 “等差”二、 得出等差数列的定义： （见P115） 注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。1名称：AP 首项 公差 2若 则该数列为常数列3寻求等差数列的通项公式： 由此归纳为 当时 （成立） 注意: 1 等差数列的通项公式是关于的一次函数 2 如果通项公式是关于的一次函数，则该数列成AP 证明：若 它是以为首项，为公差的AP。 3 公式中若 则数列递增， 则数列递减 4 图象： 一条直线上的一群孤立点三、例题： 注意在中，四数中已知三个可以求 出另一个。例一 （P115例一）例二 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数例三 （P116例三） 此题可以看成应用题四、 关于等差中项： 如果成AP 则 证明：设公差为，则 例四 教学与测试P77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数使这五个数成AP，求此数列。 解一： 是-1与7 的等差中项 又是-1与3的等差中项 又是1与7的等差中项 解二：设 所求的数列为-1，1，3，5，7五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项六、作业： P118 习题32 1-9第四教时教材：等差数列（二）目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。过程：一、复习：等差数列的定义，通项公式 二、例一 在等差数列中，为公差，若且求证：1 2 证明：1 设首项为，则 2 注意：由此可以证明一个定理：设成AP，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和 ，即： 同样：若 则 例二 在等差数列中， 1 若 求 解： 即 2 若 求 解：= 3 若 求 解： 即 从而 4 若 求 解： 6+6=11+1 7+7=12+2 从而+2 =2- =280-30=130 三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1定义法：即证明 例三 课课练第3课 例三 已知数列的前项和，求证数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。 解： 当时 时 亦满足 首项 成AP且公差为6 2中项法： 即利用中项公式，若 则成AP。 例四 课课练第4 课 例一 已知，成AP，求证 ，也成AP。 证明： ，成AP 化简得： = ，也成AP 3通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于的一次函数这一性质。 例五 设数列其前项和，问这个数列成AP吗？ 解： 时 时 数列不成AP 但从第2项起成AP。 四、小结： 略 五、作业： 教学与测试 第37课 练习题 课课练 第3、4课中选第五教时教材：等差数列前项和（一）目的：要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题。过程：一、引言：P119 著名的数学家 高斯（德国 1777-1855）十岁时计算 1+2+3+100的故事 故事结束：归结为 1这是求等差数列1，2，3，100前100项和 2高斯的解法是：前100项和 即二、提出课题：等差数列的前项和 1证明公式1： 证明： +： 由此得： 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。 2推导公式2 用上述公式要求必须具备三个条件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必须具备三个条件： （有时比较有用） 总之：两个公式都表明要求必须已知中三个 3例一 （P120 例一）：用公式1求 例二 （P120 例一）：用公式2求 学生练习：P122练习 1、2、3 三、例三 （P121 例三）求集合的元素个 数，并求这些元素的和。 解：由得 正整数共有14个即中共有14个元素 即：7，14，21，98 是 答：略 例四 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 由此可以确定求其前项和的公式吗？ 解：由题设： 得： 四、小结：等差数列求和公式 五、作业 （习题31） P122-123第六教时教材：等差数列前项和（二）目的：使学生会运用等差数列前项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。过程：一、复习：等差数列前项和的公式二、例一 在等差数列中 1 已知 求和； 解： 2 已知，求 解： 例二 已知，都成AP，且 ，试求数 列的前100项之和 解： 例三 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。 解一：设首项为，公差为 则 解二： 由 例四 已知： （） 问多少项之和为最 大？前多少项之和的绝对值最小？ 解：1 2 当近于0时其和绝对值最小 令： 即 1024+ 得： 例五 项数是的等差数列，中央两项为是方程的 两根，求证此数列的和是方程 的根。 （） 解：依题意： （获证） 例六 （机动，作了解）求和 1 解： 2 解：原式= 三、作业 精编P167-168 6、7、8、9、10第七教时教材：等差数列的综合练习目的：通过练习，要求学生对等差数列的定义，通项公式，求和公式及其性质有深刻的理解。过程：一、复习：1等差数列的定义，通项公式关于的一次函数 2判断一个数列是否成等差数列的常用方法 3求等差数列前项和的公式二、处理教学与测试P79 第38课 例题1、2、3三、补充例题教学与测试备用题 1成等差数列的四个数之和为26，第二数和第三数之积为40，求这四个数 解：设四个数为 则： 由： 代入得： 四个数为2,5,8,11或11,8,5,22在等差数列中，若 求 解： 而3已知等差数列的前项和为，前项和为，求前项和 解：由题设 而 从而： 四、补充例题：（供参考，选用） 4已知， 求及 解： 从而有 5已知 求的关系式及通项公式 解： -： 即： 将上式两边同乘以得： 即： 显然：是以1为首项，1为公差的AP 6已知，求及解： 设 则是公差为1的等差数列 又： 当时 7设求证： 证： 五、作业：教学与测试第38课 练习题P80第八教时教材：等比数列（一）目的：要求学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式并会根据它进行有关计算。过程：一、1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例：得一个数列： (1)2.数列： (2) (3)观察、归纳其共同特点：1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)2 隐含：任一项3 q= 1时，an为常数二、通项公式： 三、例一：（P127 例一）实际是等比数列，求 a5 a1=120, q=120 a5=1201205-1=12052.51010 例二、（P127 例二） 强调通项公式的应用例三、求下列各等比数列的通项公式：1 a1=-2, a3=-8解：2 a1=5, 且2an+1=-3an 解：3 a1=5, 且解： 以上各式相乘得：四、关于等比中项：如果在a、b中插入一个数G，使a、G、b成GP，则G是a、b的等比中项。（注意两解且同号两项才有等比中项）例：2与8的等比中项为G，则G2=16 G=4例四、已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，求证： 也成GP。证：由题设：b2=ac 得： 也成GP五、小结：等比数列定义、通项公式、中项定理六、作业：P129 习题34 18第九教时教材：等比数列（二）目的：在熟悉等比数列有关概念的基础上，要求学生进一步熟悉等比数列的有关性质， 并系统了解判断一个数列是否成等比数列的方法。过程：一、复习：1、等比数列的定义，通项公式，中项。 2、处理课本P128练习，重点是第三题。二、等比数列的有关性质： 1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。 2、若，则。例一：1、在等比数列，已知，求。 解：， 2、在等比数列中，求该数列前七项之积。 解： ，前七项之积 3、在等比数列中，求， 解： 另解：是与的等比中项， 三、判断一个数列是否成GP的方法：1、定义法，2、中项法，3、通项公式法例二：已知无穷数列， 求证：（1）这个数列成GP （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。证：（1）（常数）该数列成GP。 （2），即：。 （3），。 且，（第项）。例三：设均为非零实数， 求证：成GP且公比为。证一：关于的二次方程有实根， ， 则必有：，即，成GP 设公比为，则，代入 ，即，即。证二： ，且 非零，。四、作业：课课练P127-128课时7中 练习48。 P128-129课时8中 例一，例二，例三，练习5，6，7，8。 第十教时教材：等比数列的前项和目的：要求学生掌握求等比数列前项的和的（公式），并了解推导公式所用的方法。过程：一、复习等比数列的通项公式，有关性质，及等比中项等概念。二、引进课题，采用印度国际象棋发明者的故事，即求 用错项相消法推导结果，两边同乘以公比： ：这是一个庞大的数字184，以小麦千粒重为40计算，则麦粒总质量达7000亿吨国王是拿不出来的。三、一般公式推导：设 乘以公比， -：，时： 时：注意：（1）和各已知三个可求第四个， （2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆， （3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。四、例1、（P131，例一略）直接应用公式。 例2、（P131，例二略）应用题，且是公式逆用（求），要用对数算。 例3、（P131-132，例三略）简单的“分项法”。 例4、设数列为求此数列前项的和。 解：（用错项相消法） -， 当时， 当时， 五、小结：（1）等比数列前项和的公式，及其注意点，（2）错项相消法。 再介绍两种推导等比数列求和公式的方法，（作机动） 法1：设 成GP， 由等比定理：即： 当时， 当时， 法2： 从而：当时（下略） 当时六、作业：P132-133 练习 ， 习题35 ，第十一教时教材：等比数列教学与测试第40、41课目的：通过处理有关习题以达到复习、巩固等比数列的有关知识与概念的目的。过程：一、复习：等比数列的有关概念，等比数列前n项和的公式二、处理教学与测试第40课：例一、（P83）先要求x，还要检验（等比数列中任一项an0, q0）例二、（P83）注意讲：1“设”的技巧2 区别“计划增产台数”与“实际生产台数”例三、（P83）涉及字母比较多（5个），要注意消去a2, a4例四、（备用题）已知等比数列an的通项公式且：，求证：bn成GP 证： bn成GP三、处理教学与测试第41课： 例一、 （P85）可利用等比数列性质a1an = a2 an-1, 再结合韦达定理求出a1与an（两解），再求解。例二、 （P85）考虑由前项求通项，得出数列an，再得出数列，再求和注意：从第二项起是公比为的GP例三、 （P85）应用题：先弄清：资金数=上年资金（1+50%）-消费基金。然后逐一推算，用数列观点写出a5，再用求和公式代入求解。例四、 （备用题）已知数列an中，a1=-2且an+1=Sn，求an ,Sn 解：an+1=Sn 又an+1=Sn+1- Sn Sn+1=2SnSn是公比为2的等比数列，其首项为S1= a1=-2, S1= a12n-1= -2n当n2时, an=Sn-Sn-1=-2n-1 例五、 （备用题）是否存在数列an，其前项和Sn组成的数列Sn也是等比数列，且公比相同？ 解：设等比数列an的公比为q，如果Sn是公比为q的等比数列，则： 所以，这样的等比数列不存在。四、作业：教学与测试P84、P86 练习题第十二教时教材：等比数列综合练习目的：系统复习等比数列的概念及有关知识，要求学生能熟练的处理有关问题。过程：一、处理教学与测试P87第42课习题课（2）BAP2P1P3P4Pn 1、“练习题”1 选择题。 2、（例一）略：注意需用性质。 3、（例三）略：作图解决： 解： 二、补充例题： 1、在等比数列中，求的范围。解：， 又，且， 解之：当时，（）当时，且必须为偶数，（）2、等比数列前项和与积分别为S和T，数列的前项和为， 求证：证：当时， ，（成立）当时，（成立）综上所述：命题成立。3、设首项为正数的等比数列，它的前项之和为80，前项之和为6560，且前 项中数值最大的项为54，求此数列。 解： 代入（1）， ，得：，从而， 递增，前项中数值最大的项应为第项。 ， ，此数列为4、设数列前项之和为，若且， 问：数列成GP吗？ 解：，即 即：，成GP 又：， 不成GP，但时成GP，即：。三、作业：教学与测试P87-88 练习题 3，4，5，6，7补充：1、三数成GP，若将第三数减去32，则成AP，若将该等差数列中项减 去4，以成GP，求原三数。（2，10，50或） 2、一个等比数列前项的和为前项之和，求。 （63） 3、在等比数列中，已知：，求。 精编P176-177 第2，4题。第十三教时教材：数列求和目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。过程：一、 提出课题：数列求和特殊数列求和常用数列的前n项和： 二、 拆项法：例一、（教学与测试P91 例二）求数列的前n项和。 解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则 当时， 当时，三、 裂项法：例二、求数列前n项和解：设数列的通项为bn，则 例三、求数列前n项和 解： 四、 错位法：例四、求数列前n项和 解： 两式相减： 例五、设等差数列an的前n项和为Sn，且，求数列an的前n项和 解：取n =1，则又： 可得：五、作业：教学与测试P9192 第44课 练习 3，4，5，6，7补充：1. 求数列前n项和 2. 求数列前n项和 3. 求和： (5050) 4. 求和：14 + 25 + 36 + + n(n + 1) 5. 求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，(1+a+a2+an-1)，前n项和 第十四教时教材：数列的应用目的：引导学生接触生活中的实例，用数列的有关知识解决具体问题，同时了解处理“共项” 问题。过程：五、 例题：1教学与测试P93 例一）大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a，则当n为奇数时，取 S达到最小值当n为偶数时，取 S达到最大值 2在1000，2000内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？解：不妨设，则cp为 an 与 bn 的公共项构成的等差数列 (1000cp2000)an = bm ,即：3n=4m+1 令n=3 , 则m=2 c1=9且有上式可知：d=12 cp=9+12(p-1) ( pN*) 由1000cn2000解得： p取84、85、166共83项。3某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)解：1991年、1992年、2000年住房面积总数成AP a1 = 6500 = 3000万m2，d = 30万m2，a10 = 3000 + 930 = 32701990年、1991年、2000年人口数成GPb1 = 500 , q = 1% , 2000年底该城市人均住房面积为：4（精编P175 例3）从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？ 2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为an，则： a1= 0.2 kg , a2=0.2 kg , a3= ()20.2 kg 由此可见：an= ()n-10.2 kg , a5= ()5-10.2= ()40.2=0.0125 kg 2.由1.得an是等比数列 a1=0.2 , q= 六、 作业：教学与测试P94 练习 3、4、5、6、7精编P177 5、6第十五教时教材：等差、等比数列的综合练习目的：通过复习要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧。过程：七、 小结：等差、等比数列的定义、通项公式、中项公式、性质、求和公式。八、 处理教学与测试P81第39课 习题课（1）1基础训练题2例一 由求 用定义法判定成AP 例二 关键是首先要判定或 九、 处理教学与测试P89第43课 等差数列与等比数列1例一 “设” 利用中项公式 求解2例二 “设”的技巧，然后依题意列式，再求解3例三 已知数列中，是它的前项和，并且， 1 设，求证数列是等比数列； 2 设，求证数列是等差数列。证：1 ， 两式相减得： 即： 即是公比为2的等比数列 2 将代入： 成AP十、 1、P90“思考题”在ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证ABC为正三角形。 证：由题设，且 即 从而 （获证） 2、“备用题” 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。 解：设原来三个数为 则必有 由： 代入得：或 从而或13 原来三个数为2,10,50或十一、 作业：教学与测试P81-82 练习题 3、4、5、6、7 P90 5、6、7、8第十六教时教材：数列极限的定义目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋近”，然后初步学会用语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。过程：十二、 实例：1当无限增大时，圆的内接正边形周长无限趋近于圆周长 2在双曲线中，当时曲线与轴的距离无限趋近于0十三、 提出课题：数列的极限 考察下面的极限1 数列1： “项”随的增大而减少 但都大于0 当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数02 数列2： “项”随的增大而增大 但都小于1 当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数13 数列3： “项”的正负交错地排列，并且随的增大其绝对值减小 当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数引导观察并小结，最后抽象出定义： 一般地，当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个数（即无限地接近于0），那么就说数列以为极限，或者说是数列的极限。 （由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0十四、 例一 （课本上例一）略 注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当无限增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。 练习：（共四个小题，见课本）十五、 有些数列为必存在极限，例如：都没有极限。例二 下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？ 1 2 34 5解：1：0,1,0,1,0,1, 不存在极限2： 极限为03： 不存在极限4： 极限为05：先考察： 无限趋近于0 数列的极限为十六、 关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限十七、 作业： 习题1补充：写出下列数列的极限：1 0.9,0.99,0.999, 2 3 4 5 第十七教时教材：数列极限的定义（）目的：要求学生掌握数列极限的定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：十八、 复习：数列极限的感性概念 十九、 数列极限的定义 1以数列为例 观察：随的增大，点越来越接近即：只要充分大，表示点与原点的距离可以充分小进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数 2具体分析：(1) 如果预先给定的正数是，要使只要即可 即：数列的第10项之后的所有项都满足(2) 同理：如果预先给定的正数是，同理可得只要即可(3) 如果预先给定的正数是，同理可得：只要即可 3小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数，使得只要 就有 4抽象出定义：设是一个无穷数列，是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数，总存在正整数，使得只要正整数，就有，那么就说数列以为极限（或是数列的极限） 记为： 读法：“”趋向于 “” 无限增大时 注意：关于：不是常量，是任意给定的小正数由于的任意性，才体现了极限的本质关于：是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在：形象地说是“距离”，可以比大趋近于，也可以比小趋近于，也可以摆动趋近于二十、 处理课本 例二、例三、例四 例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身 例四 这是一个很重要的结论二十一、 用定义证明下列数列的极限：1 2证明1：设是任意给定的小正数 要使 即： 两边取对数 取 介绍取整函数当时，恒成立 证明2：设是任意给定的小正数要使 只要 取 当时，恒成立第十八教时教材：数列极限的四则运算目的：要求学生掌握数列极限的四则运算法则，并能运用法则求数列的极限。过程：二十二、 复习：数列极限的定义 二十三、 提出课题：数列极限的四则运算法则 1几个需要记忆的常用数列的极限 2运算法则： 如果 则： 3语言表达（见教材，略） 此法则可以推广到有限多个数列的情形 解释：如数列 它的极限为1 它的极限为2则 它的极限为3即：二十四、 处理课本 例一、例二 略 例三（机动，作巩固用）求下列数列的极限：1解：原式=2 解：原式=3 解：原式= 小结： 例四、首项为1，公比为的等比数列的前项的和为，又设，求解： 当时，当时，当时， 当时，不存在二十五、 小结：运算法则、常用极限及手段二十六、 作业：练习1、2 习题1 补充：（附纸）第十九教时教材：数列极限的运算目的：继续学习数列极限的运算，要求学生能熟练地解决具体问题。过程：一、 复习数列极限的运算法则例一、 先求极限，再用N定义证明。解：任给则令二、 先求和，后求极限：例二、求极限1 解：原式= （指出：原式=0+0+0+0=0 是错误的）2解：原式=3解： 4已知数列an中，求解： 三、 先共扼变形，再求极限：例三、求极限1解：原式=2解：原式=3四、 作业：1 求数列的极限为 1 2 1 3 2 45 9 6 = 7 用数列极限的定义证明：8 已知数列和(1)求证：这两个数列的极限分别是5和1； (2)作一个无穷数列，使它的各项为这两个数列的对应项的和，验证所得数列的极限等于这两个数列的极限的和。第二十教时教材：求无穷递缩等比数列的和目的：要求学生掌握无穷递缩等比数列的概念及其求和公式，并能解决具体问题。过程：一、 例题：例一、 已知等比数列，求这个数列的前n项和；并求当 时，这个和的极限。 解：公比 , 解释：“无穷递缩等比数列”1 当时，数列为无穷递缩等比数列相对于以前求和是求有限项（n项）2 当 | q | 1时，数列单调递减，故称“递缩”3 数列an本身成GP小结：无穷递缩等比数列前n项和是当时， 其意义与有限和是不一样的例二、 求无穷数列各项和。 解： 例三、 化下列循环小数为分数：1 2解：1 2小结法则：1 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是999，其中9的个数是循环节数字的个数。2 混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是999000，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同。例四、 某无穷递缩等比数列各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。 解：设首项为a ，公比为 q，( | q | 3 或 a1 3 2 4正项等比数列的首项为1，前n项和为Sn，则 1或 q 5 6已知 ，则 2 7若，则r的取范围是 (-2，0) 8无穷等比数列中，(1)若它的各项和存在，求的范围；若它的各项和为，求。()9以正方形ABCD的四个顶点为圆心，以边长a为半径，在正方形内画弧，得四个交点A1，B1，C1，D1，再在正方形A1B1C1D1内用同样的方法得到又一个正方形A2B2C2D2，这样无限地继续下去，求所有这些正方形面积之和。 第十一课时 课 题 3.6.1 分期付款中的有关计算 教学目标 1通过分期付款中的有关计算巩固等比数列的通项公式和前n项和公式的掌握； 2培养数学的应用意识. 教学重点 等差数列通项公式和前n项和公式的应用 教学难点 利用等比数列有关知识解决实际问题. 教学方法 启发诱导 教学过程 (I)复习回顾师：近几天来，我们又学习了有关等比数列的下列知识：生：通项公式：前n项和公式： ()讲授新课 师：这节课我们共同来探究一下它在实际生活中的应用，如今，在社会主义市场经济的调节之下，促销方式越来越灵活，一些商店为了促进商品的销售，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上也很灵活，可以一次性付款，也可以分期付款 首先我们来了解一下何为分期付款?也就是说，购买商品可以不一次性将款付清，而可以分期将款逐步还清，具体分期付款时，有如下规定： 1分期付款中规定每期所付款额相同。 2每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金例如：若月利率为0.8%，款额a元，过1个月增值为a(1+0.8%)1.008a(元)，再过1个月则又要增值为1.008a(1+O.O08)1.0082a(元) 3各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和 师：另外，多长时间将款付清，分几次还清，也很灵活，它有多种方案可供选择，下面我们以一种方案为例来了解一下这一种付款方式 例如，顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，总共分六次，在一年内将款全部付清，第月应付款多少元? 首先，我们来看一看，在商品购买后1年货款全部付清时，其商品售价增值到了多少 生：由于月利率为O.008，在购买商品后1个月时，该商品售价增值为： 5000(1+O.008)5000x1.O08(元)， 出于利息按复利计算，在商品购买后2个月，商品售价增值为：5000x1.O08x(1+0.008)5000x1.0082(元)， 在商品购买12个月(即货款全部付清时)，其售价增值为： 5000x1.00811x(1+O.008)5000x1.00812(元) 师：我们再来看一看，在货款全部付清时，各期所付款额的增值情况如何. 假定每期付款x元. 第1期付款(即购买商品后2个月)x元时，过10个月即到款全部付清之时，则付款连同利息之和为：1.00810(元)， 第2期付款(即购买商品后4个月)x元后，过8个月即到款全部付清之时，所付款连同利息之和为：1.O088 x(元) 师：依此类推，可得第3，4，5，6，期所付的款额到货款全部付清时连同利息的和 生：可推得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时，连同利息的和依次为： 1.O086(元)，1.0084(元)，1.0082x(元)，x(元) 师：如何根据上述结果来求每期所付的款额呢? 根据规定3，可得如下关系式： x+1.0082x+1.O084x+1.O0810x50001.O0812 即：x(1+1.0082+1.0084+1.00810)50001.O0812 生：观其特点，可发现上述等式是一个关于x的一次方程，且等号
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