启杰教育 高中数学三角函数专题.doc

启杰教育 第 1 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师 启杰教育三角函数专题 一、三角函数的概念 (1) 角的概念：终边相同角的集合：所有与 终边相同的角,连同 在内,可构成集合 或0|36,kkZ|2,kZ (2) 象限角：第一象限角的集合 |x 第二象限角的集合 | ,2kk 第三象限角的集合 |xZ 第四象限角的集合 |,kk (3) 角度、弧度的换算关系：（1） , ,3602rad180r 180ad （4）扇形的弧长、面积公式：设扇形的弧长为 ,圆心角为 ,半径为 ,则 ,扇形的面积l()rl2Slr (5)、三角函数定义： 若 是角 终边上任意异于 的一点, 为坐标原点, ,则,PxyOOPrsin,cos,tan,cotyxrr (6)、三角函数在各象限的符号规律：口诀“一全正, 二正弦 ,三正切,四余弦. （ ）sincostancot 二、同角三角函数的基本关系与诱导公式 1、同角三角函数的基本关系式（1）倒数关系： ，tanct1se ， siotano （2）商的关系： （3）平方关系：sincsta,ot.ci221cs 2、诱导公式 + + + + + 启杰教育 第 2 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师 函数xsinxcosxtanxcotx2coincottansincosanco3itt2sicstact 例 1已知 _cot051coin） ， 则，（， 解： ） ，（，s 两边同时平方，有 联 立 ，与 51csin25csi 求出 ， 3o54sin43ot 例 2若 ，则 =（ ）16ics A B C D9733197 解： =23cos)2(cos = =1+2 = .故选 A.)(6in97 例 3已知 .51cos,0xx （1）求 sinxcos x 的值； （2）求 的值.xcottan22 isi32 解法一：（1）由 ,251cossini,51si xx平 方 得 即 .4921)co(n.24cs x 又 故 ,0si,0s,sin,02 xx .7csix 启杰教育 第 3 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师 （2） xx x sincoi12cottans2sii32 12508)(251 )sinsix 解法二：（1）联立方程 .cosin,2x 由得 将其代入，整理得,51sinx ,012cos52x 故 .54cs,3in,02.4cos3c xx或 .57cosinx （2） x xcottans2isi2xsici1212508)342(5)3(sinoin 三、两角和与差的三角函数 1、两角和与差的三角函数公式： , , 。sin()sicosinco()scoinstanta()1 2,二倍角公式 ；2tai2i1 ； 222 21tancossincossi2tant1 注意：熟悉以下公式变形 （1） （2）tata1tan22coscossi; 启杰教育 第 4 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师 （3） （4）221cos,1cosin 21sinicos 例 1 在ABC 中，2sinA+cosB=2 ，sinB+2cosA= ，则C 的大小应为( )3 A B C 或 D 或636532 解：A 例 2 ABC 中，已知 cosA= ，sinB= ，则 cosC 的值为（ ）153 A. B. C. 或 D.651665651 解：A 例 3 已知 是第三象限的角，若 等于（ ）sincossin4492， 则 A. B. C. D. 232333 解：选 A. 解析： sincos44 ()sinco222 159si n28 3242403kkkZ（ ）sin 四、三角函数的图象及性质 函数 sinyxcosyx tanyx 启杰教育 第 5 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师 图 象 o32 yoo23 定义域 R R |,2xkZ 值域 1,1,R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 有界性 sinxcosx无界函数 最小正 周期 22,()32,2()kZk增 区 间减 区 间 ,()2,kZk增 区 间减 区 间 ,2()kZ增 区 间 对称轴 ()xkZ()xZ无对称轴 对称 中心 ,0 ,02kk,02kmaxin21;kZy时 ，时 ， maxin1;2Zyk时 ， 时 ， (0,)A 函数 sinyxcosyAxtanyAx yx2x3x 无最值最值 单 调 区 间 启杰教育 第 6 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师 定义域 R R 2| ,kxkZ 值域 ,A,AR 奇偶性 时是奇函数,kZ 时是偶2 函数。 时是2kZ 奇函数, 时 是偶函数。 时是奇函数kZ 有界性 sinAxAcosxA无界函数 最小正 周期 224,()23,()kZkZ增 区 间 减 区 间 ,2,kkZ增 区 间 减 区 间 22,()k增 区 间 对称轴 ()2 kx()kx 无对称轴 对称 中心 ,0kZ 2,0kZ2,0kkZmaxin42;2yAkkZ时 ，时 ， maxin;(2)kyAkZ时 ，时 ， 注：（1）注意会解三角函数在区间上的值域（或范围）如：求 上的取值范围。sin,0,42 （2）注意求单调区间时的整体意识。如：求 的单调增区间,在 上的单调增区间。sin2yx, 无最值最值 单 调 区 间 启杰教育 第 7 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师 而 求单调增区间时 ,先化成 的形式,再求 的单调递减sin26yxsin26yxsin26yx 区间。 （3）求对称轴、对称中心时,注意整体意识,同时 在对称轴处取最值。sicosy、 五、图象变换：函数 的图象可由 的图象做如下变换得到sin0,yAxinx 1、先相位变换 周期变换 振幅变换 ：把 图象上所有的点向左（ ） 或向右（ ）sinyxisinyx00 平移 个单位。 ：把 图象上各点的横坐标伸长（ ）或缩sinyxsiyx1 短（ ）到原来的 倍,纵坐标不变。11 ：把 图象上各点的纵坐标伸长（ ）或缩短siyAxsinyxA （ ）到原来的 A 倍,横坐标不变。0A 2、先周期变换 相位变换 振幅变换 ：把 图象上各点的横坐标伸长（ ）或缩短（sinyxsinyxsiyx01 ）到原来的 倍,纵坐标不变。1 ：把 图象上所有的点向左（ ）或向右（ ）平移siyxsiyx0 个单位. ：把 图象上各点的纵坐标伸长（ ）或缩短（sinyAxsinyx1A ）到原来的 A 倍,横坐标不变。01A 3、 注意：（1）要会画 在一个周期的图象：（用 “五点法”作i )sin(xy 图时，将 看作整体，取 ， 来求相应的 值及对应的 值，再描)0,(Ax2,3x 点作图). 例 1 为了得到函数 的图像，可以将函数 的图像（ ）62siny y2cos A 向右平移 B 向右平移 C 向左平移 D 向左平移6363 启杰教育 第 8 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师 解：B 例 2函数 为增函数的区间是 ( ),0)(26sinxy A. B. C. D. 3,017, 65,3, 解： C 例 3函数 的最大值为_.fxx()sincos42 解： xin()252 当 时 ， 取 最 大 值si()()11xfx 例 4 函数 的部分图像是（ ）ycos y y y y O O x O x x O x A B C D 解：选 D. 提示：显然 Axy、为 奇 函 数 ， 故 排 除cos BDyx 选， 故 弃时 ， 纵 坐 标且即 当 横 坐 标 ， 判 断 出 相 应 的且令 000 例 5 当 23x时 ， 函 数 的 （ ）sincos A. 最大值为 1，最小值为 -1 B. 最大值为 1，最小值为 12 C. 最大值为 2，最小值为 D. 最大值为 2，最小值为2 解：选 D 解析： ，而yxxsincosin()33x 6512， ， 故 ，i ymaxin21， 高考试卷数学三角试题汇集 启杰教育 第 9 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师 选择题 1.（北京卷）对任意的锐角 ，下列不等关系中正确的是 （A）sin(+)sin+sin （B）sin(+)cos+cos （C）cos(+)sinsin （D）cos(+)coscos 2.（北京卷）函数 f(x)= 1cos2x （A）在 上递增，在 上递减0,),23,)(,2 （B）在 上递增，在 上递减3 （C）在 上递增，在 上递减(,0,),2 （D）在 上递增，在 上递减)2( 3.（全国卷）当 时，函数 的最小值为 0xxxf2sin8co1)( （A）2 （B） （C）4 （D ）3234 4.（全国卷）在 中，已知 ，给出以下四个论断： BAsitan 1cottan 2si01cossin22BA 其中正确的是CBA222sicos （A） （B） （C） （D） 5.（全国卷）函数 f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是 (A) (B) （C） （D）242 6.（全国卷）已知函数 y =tan 在（- ， ）内是减函数，则 x2 （A）0 1 （B）-1 0 （C ） 1 （D） -1 7（全国卷）已知 为第三象限角，则 所在的象限是 （A）第一或第二象限（ B）第二或第三象限（C）第一或第三象限（D）第二或第四象限 8.（全国卷）设 ,且 ,则 02x1sin2icosxx 启杰教育 第 10 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师 (A) (B) (C) (D) 0x74x54x32x 9.（全国卷） 22sincos1 (A) (B) (C) 1 (D)tatan12 10.(浙江卷) 已知 k4，则函数 ycos2 xk(cosx1) 的最小值是( ) (A) 1 (B) 1 (C) 2k1 (D) 2k1 11(浙江卷) 函数 ysin(2x )的最小正周期是( )6 (A) (B) (C) 2 (D)42 12 （江西卷）已知 （ ）cos,3tan则 A B C D545415453 13.（江西卷）设函数 为 （ ）)(|,sin|i)(xfxf 则 A周期函数，最小正周期为 B周期函数，最小正周期为323 C周期函数，数小正周期为 D非周期函数 14.（江西卷）在OAB 中，O 为坐标原点， ，则当OAB 的面积达最2,0(),1(sin),co,1(A 大值时， （ ） A B C D643 15、 （江苏卷）若 ，则 =（ ）31sin2cos A B C D973197 16 （湖北卷）若 （ ）则),20(tancosin A B C D)6,0()4,64()2,3( 17 （湖南卷）tan600的值是 （ ） A B C D333 启杰教育 第 11 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师 18 （重庆卷） （ ）)12sin)(co12sin(co A B C D23 3 19 （福建卷）函数 的部分图象如图，)20,)(sinRxy 则 （ ） A B4,26,3 C D45 20 （福建卷）函数 在下列哪个区间上是减函数（ ）xy2cos A B C D4,3,2,0, 21.（山东卷）已知函数 ，则下列判断正确的是（ ） )1cos()sin(xy （A）此函数的最小正周期为 ，其图象的一个对称中心是 )0,12( （B）此函数的最小正周期为 ，其图象的一个对称中心是 （C）此函数的最小正周期为 ，其图象的一个对称中心是2),6( （D）此函数的最小正周期为 ，其图象的一个对称中心是 0 22（山东卷）函数 ，若 ，则 的所有可能值为（ ） 0,1)sin()(2xef 2)(1af （A）1 （B） （C） （D）2, 2, 23.（天津卷）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点的（ xycos )42sin(xy ） (A)横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ,再向左平行移动 个单位长度218 (B)横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 个单位长度4 (C)横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 个单位长度 启杰教育 第 12 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师 (D)横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 个单位长度8 24（天津卷）函数 ),2,0)(sinRxxAy 的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ） （A） （B）)48sin(xy )48sin(xy （C） （D） 填空题： 1.（北京卷）已知 tan =2，则 tan 的值为 ，tan 的值为 234() 2.（全国卷）设 a 为第四象限的角，若 ，则 tan 2a =_.51sina 3.（上海卷）函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，则2,0|i|sin)(xxf ky 的取值范围是_。k 4.（上海卷）函数 的最小正周期 T=_ycosi2cos 5.（上海卷）若 ， ，则 =_。71,03 6.（湖北卷）函数 的最小正周期与最大值的和为 .cos|in|xy 7.（湖南卷）设函数 f (x)的图象与直线 x =a，x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在a，b 上的面积， 已知函数 ysinnx 在0， 上的面积为 （nN * ） ， （i）ysin3x 在0, 上的面积为 2 32 ；（ii）ysin（3x ）1 在 ， 上的面积为 . 34 8.（重庆卷）已知 、 均为锐角，且 = . tan),si()cos(则 解答题： 15 （广东卷） 化简 并求函数),)(23sin)2316cos()2316cos() ZkRxxkxkxf 的值域和最小正周期.(f 16.（北京卷） 已知 =2，求 tan2 启杰教育 第 13 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师 （I） 的值； （II） 的值.tan()46sinco32 答案： 选择题 1.D 2.A 3.D 4.B 5.C 6.B 7.D 8. C 9.B 10.A 11.B 12.B 13.A 14.D 15.A 16.C 17.D 18.D 19.C 20 C 21.B 22.B 23.C 24.A 填空题： 1.- 2. 3. 4. 5. 6.714313k1421 7. , 8.2 解答题： 15解： )23sin()23cos()23cos()( xxkxkxf )in)2xcs4 所以函数 f(x)的值域为 ，最小正周期4,2T 16.解：（I） tan =2, ;22 tan4t13 所以 = ； tantan4tan()41t1473 （II）由(I ), tan= , 所以 = = .36sicon26tan2 ()6 启杰教育 第 14 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师 三角恒等变换公式图 启杰教育 第 15 页 共 15 页 盘福路 102 号之三二门 603 和盘福路 102 号之三一门 205 联系电话 15914365683 王老师