2.1 一元二次方程

2.1 一元二次方程教学目标【知识与能力】1、整式方程和一元二次方程的定义；能识别一元二次方程；2、知道一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 ( a0 )，能熟练的把一元二次方程整理成一般形式；3、在分析、揭示实际问题中的数量关系并把实际问题转化为数学模型。【过程与方法】从实际问题中抽象出一元二次方程的概念，经历探索、分析的过程，体会一元二次方程的特征，树立数学建模思想。【情感态度价值观】1、 体会数学与现实生活的密切联系。2、学会与他人交流合作，提高数学的学习兴趣。教学重难点【教学重点】实际生活中分式方程应用题数量关系的分析。【教学难点】将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示, 并进行归纳总结。课前准备无教学过程一、预学：提出下面问题，由学生设未知数，并列出方程：(1)一个正方形的面积的2倍等于31，求这个正方形的边长。(2)一个数比另一个数小，且两数之积为0，求这个数。(3)一个数的平方的倍与2的和等于2，求这个数。(4)一个矩形的长比宽多5 cm，面积为150 cm2，求这个矩形的宽。设所求的量或数为 x ，可得如下方程：(1) 2x2 = 31 (2) x ( x +)=0(3) x2 2 = 2 (4) x ( x + 5 ) = 150然后将上述方程改写成：(1) 2x231 = 0 (2) x2 + x=0(3) x2 4 = 0 (4) x2 + 5x150 = 0什么叫整式方程？怎样的方程叫一元一次方程？试举例说明。( 方程两边都是未知数的整式，叫整式方程；在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的方程叫作一元一次方程)二、探究：问题1、引导性材料1中，所得出的四个方程有哪些共同点？ ( 学生分组讨论，然后各组交流 )(1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数 (3) 未知数的最高次数是2从而教师导出一元二次方程的定义，得出一元二次方程的一般形式： aX2 + bX + c = 0 ( a0 )问题2 下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？(1) 3x + 2 = 5x3 (2) x2 = 4(3) ( x1 )( x2 ) = x2+ 8 (4) ( x + 3 )( 3x4 ) = (x + 2)2(上列方程都是整式方程。其(1)、(3)是一元一次方程，(2)、(4)是一元二次方程)说明：通过一元二次方程与一元一次方程的比较，既加深学生对整式方程的认识，又可使学生深刻理解一元二次方程的意义。问题3 为什么在一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0中，二次项系数不为0呢？说明：方程aX2 + bX + c = 0是一元二次方程，必须具备a0的条件。如果所研究的问题中，明确指出方程aX2 + bX + c = 0是一元二次方程，则它隐含了条件a0。若没有特别说明，方程aX2 + bX + c = 0既可能是一元二次方程( 当a0时) ，也有可能是一元一次方程( 当a = 0且b0时)。3、 精讲例题解析：例1 把方程( x + 3 )( 3x4 ) = (x + 2)2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项。解： 2x2 + x16 = 0二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是16。一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 (a0)具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的，不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异，从而能正确的找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。例2 当 a、b、c 满足什么条件时，方程 (a1)x2 + bx + c = 0 是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么？当a、b、c 满足什么条件时，方程 (a1)x2 + bx + c = 0 是一元一次方程？本题供学有余力的同学讨论。当a = 1时是一元二次方程；当a=1，b0时是一元一次方程；四、提升：1、一元二次方程属于“整式方程”，其次它“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”，2、一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 (a0)，一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。3、在实际问题转化为数学模型( 一元二次方程 ) 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。五、作业：课本第5页练习第3 题板书设计一元二次方程一、新课引入二、新课讲解三、课堂练习四、课堂小结五、作业 3