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第5讲 几何概型A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，则含有麦锈病种子的概率是()A1 B0.1 C0.01 D0.001解析设事件A为“10 mL小麦种子中含有麦锈病种子”，由几何概型的概率计算公式得P(A)0.01，所以10 mL小麦种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.答案C2. (2013哈尔滨二模)如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为()A. B. C. D.解析由几何概型的概率公式，得，所以阴影部分面积约为，故选C.答案C3(2011福建)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于 ()A. B. C. D.解析SABE|AB|AD|，S矩形ABCD|AB|AD|.故所求概率P.答案C4(2012辽宁)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为 ()A. B. C. D.解析设出AC的长度，先利用矩形面积小于32 cm2求出AC长度的范围，再利用几何概型的概率公式求解设ACx cm，CB(12x)cm，0x12，所以矩形面积小于32 cm2即为x(12x)320x4或8x12，故所求概率为.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5(2013长沙模拟)在区间上随机取一个数x，cos x的值介于0至之间的概率为_解析根据题目条件，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P.答案6(2011江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_解析设A小波周末去看电影，B小波周末去打篮球，C小波周末在家看书，D小波周末不在家看书，如图所示，则P(D)1.答案三、解答题(共25分)7(12分)如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率解弦长不超过1，即|OQ|，而Q点在直径AB上是随机的，事件A弦长超过1由几何概型的概率公式得P(A).弦长不超过1的概率为1P(A)1.8(13分)已知关于x的一次函数ymxn.(1)设集合P2，1,1,2,3和Q2,3，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数ymxn是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件求函数ymxn的图象经过一、二、三象限的概率解(1)抽取的全部结果的基本事件有：(2，2)，(2,3)，(1，2)，(1,3)，(1，2)，(1,3)，(2，2)，(2,3)，(3，2)，(3,3)，共10个基本事件设使函数为增函数的事件为A，则A包含的基本事件有：(1，2)，(1,3)，(2，2)，(2,3)，(3，2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P(A).(2)m，n满足条件的区域如图所示，要使函数的图象过一、二、三象限，则m0，n0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，所求事件的概率为P.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1. 分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ()A. B.C. D.解析设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为2，则阴影区域的面积为24，所以所求概率为P.答案B2(2013大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x2有不等实数根的概率为 ()A. B. C. D.解析方程x2，即x22x2b0，原方程有不等实数根，则需满足(2)242b0，即ab.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A“方程x2有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)由几何概型公式可得P(A).故选B.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)3(2013武汉一模)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为_解析确定点P到点O1，O2的距离小于等于1的点的集合为，以点O1，O2为球心，1为半径的两个半球，求得体积为V213，圆柱的体积为VSh3，所以点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为V1.答案4(2012烟台二模)已知正三棱锥SABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得VPABCVSABC的概率是_解析三棱锥PABC与三棱锥SABC的底面相同，VPABCVSABC就是三棱锥PABC的高小于三棱锥SABC的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC的面积为S，三棱锥SABC的高为h，则所求概率为：P.答案三、解答题(共25分)5(12分)(2013深圳调研)设函数f(x)x2bxc，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f(1)5且f(0)3”发生的概率(1)若随机数b，c1,2,3,4；(2)已知随机函数Rand()产生的随机数的范围为x|0x1，b，c是算法语句b4*Rand( )和c=4*Rand( )的执行结果.（注：符号“*”表示“乘号”）解由f(x)x2bxc知，事件A“f(1)5且f(0)3”，即(1)因为随机数b，c1,2,3,4，所以共等可能地产生16个数对(b，c)，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)事件A：包含了其中6个数对(b，c)，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)所以P(A)，即事件A发生的概率为.(2)由题意，b，c均是区间0,4中的随机数，点(b，c)均匀地分布在边长为4的正方形区域中(如图)，其面积S()16.事件A：所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分)，其面积为S(A)(14)3.所以P(A)，即事件A发生的概率为.6(13分)甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率解甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待以y和x分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为2xy4，在如图所示的平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示由几何概型公式，得P(A).故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
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