高考理科数学试题分类汇编：7立体几何

版权所有：中华资源库 2013 年高考理科数学试题分类汇编：7 立体几何 一、选择题 1. （2013 年高考新课标 1（理） ）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如 果不计容器的厚度,则球的体积为 （ ） A B C D350cm386cm3172cm32048cm 【答案】A 2. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）设 是两,n 条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ） A若 , , ,则 B若 , , ,则 mnn/mn/ C若 , , ,则 D若 , , ,则/ 【答案】D 3. （2013 年上海市春季高考数学试卷 (含答案)）若两个球的表面积之比为 ,则这两1:4 个球的体积之比为 （ ） A B C D1:21:41:8:6 【答案】C 4. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已 知正四棱柱 中 ,则 与平面 所成角的正弦值等1CDA12AB1BC 于 （ ） A B C D23333 【答案】A 5. （2013 年高考新课标 1（理） ）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 版权所有：中华资源库 （ ） A B C D168816816 【答案】A 6. （2013 年高考湖北卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个 简单几何体组成,其体积分别记为 , , , ,上面两个简单几何体均为旋转体,下1V234 面两个简单几何体均为多面体,则有 （ ） A B C1243V1324V2134V D 2314 【答案】C 7. （2013 年高考湖南卷（理） ）已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方 形,则该正方体的正视图的面积不可能等于 （ ） A B C D 122-2+ 【答案】C 8. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）某四棱台的 三视图如图所示,则该四棱台的体积是 版权所有：中华资源库 （ ） 121 正视图 俯视图 侧视图 第 5 题图 A B C D4 1431636 【答案】B 9. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）已 知 nm,为异面直线, 平面 ,n平面 .直线 l满足 ,mlnl 则 （ ） A /,且 /l B ,且 l C 与 相交,且交线垂直于 lD 与 相交 ,且交线平行于 l 【答案】D 10. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）已知三棱柱1AB 的侧棱与底面垂直,体积为 94 ,底面是边长为 3的正三角形.若 P为底 面 C的中心,则 PA与平面 BC所成角的大小为 （ ） A 512 B 3 C 4 D 6 【答案】B 11. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）某几何体的三 视图如题 5图所示,则该几何体的体积为 （ ） A 603B 5803C 20D 240 版权所有：中华资源库 【答案】C 12. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）已知三棱柱 的 6 个顶点都在球 的球面上,若 , ,1ABO34ABC， AB ,则球 的半径为 （ ）2 A B C D 37210132310 【答案】C 13. （2013 年高考江西卷（理） ）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上, 且 ,正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 ,那DA mn 么 mn （ ） A8 B9 C10 D11 【答案】A 14. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）一 个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz中的坐标分别是 (1,0),(1)0,画该 四面体三视图中的正视图时,以 平面为投影面,则得到正视图可以为 版权所有：中华资源库 （ ） A B C D 【答案】A 15. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在下列命题 中,不是公理的是 （ ） A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 16. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在空间中, 过点 作平面 的垂线,垂足为 ,记 .设 是两个不同的平面,对空间B)(Af 任意一点 , ,恒有 ,则 （ ）P)(21 PQf21Q A平面 与平面 垂直 B平面 与平面 所成的(锐)二面角为 045 C平面 与平面 平行 D平面 与平面 所成的(锐)二面角为 06 【答案】A 17. （2013 年高考四川卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以 是 版权所有：中华资源库 【答案】D 二、填空题 18. （2013 年高考上海卷（理） ）在 平面上,将两个半圆弧 和xOy2(1)(1)xyx 、两条直线 和 围成的封闭图形记为 D,如图中阴2(3)1(3)xyx1 影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ,过 作 的水平截面,所(0)|y 得截面面积为 ,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体 ,得出248 的体积值为_ 【答案】 . 216 19. （2013 年高考陕西卷（理） ）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_ _.3112 1 【答案】 3 20. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已 知圆 和圆 是球 的大圆和小圆 ,其公共弦长等于球 的半径, ,且圆 与OKO32KO 圆 所在的平面所成的一个二面角为 ,则球 的表面积等于 _.60 版权所有：中华资源库 【答案】 16 21. （2013 年高考北京卷（理） ）如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E 为 BC 的中 点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1的距离的最小值为_.1BPADCEBA1A 【答案】 25 22. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附 加题） ）如图,在三棱柱 中, 分别是 的中点,ABC1FED， 1ACB， 设三棱锥 的体积为 ,三棱柱 的体积为 ,则ADEFV12V _.21:VABC1DEF1 【答案】 1:24 23. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）若某几何体 的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于_ .2cm 4 3 2 3 3 正视图 侧视图 俯视图 （第 12 题图） 【答案】24 版权所有：中华资源库 24. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,正方 体 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 上的动点,过点 A,P,Q1ABCD 1C 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是_(写出所有正 确命题的编号). 当 时,S 为四边形;当 时,S 为等腰梯形;当 时,S 与102CQ12CQ34CQ 的交点 R 满足 ;当 时,S 为六边形;当 时,S 的面1D1341 积为 .62 【答案】 25. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）某几何体的三 视图如图所示,则该几何体的体积是_. 【答案】 16 26. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）已知某一多 面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图 中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是_ 版权所有：中华资源库 【答案】 12 27. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体 中,异面直线 与 所成角的大小为 _1ABCD1ABC D1 C1 B1A1 D C A B 【答案】 3 三、解答题 28. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）如图,AB 是圆 的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证: PACB平 面 平 面 ； (II) 2 .BCPBA若 ， 1， ， 求 证 ： 二 面 角 的 余 弦 值 【答案】 版权所有：中华资源库 版权所有：中华资源库 29. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）如图,四棱锥PABCD 中, ABCD底 面 , 2,4,3ACBACD,F 为 的中点, FP. (1)求 的长; (2)求二面角 F的正弦值. 【答案】 版权所有：中华资源库 30. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,圆锥 版权所有：中华资源库 顶点为 .底面圆心为 ,其母线与底面所成的角为 22.5. 和 是底面圆 上poABCDO 的两条平行的弦,轴 与平面 所成的角为 60.OPCD ()证明:平面 与平面 的交线平行于底面; ()求 .PABCDcosCOD 【答案】解: () ,/ /mPABP设 面 面 直 线 且 面 面 . /直 线 面直 线面 / 所以, . CDDPAB的 公 共 交 线 平 行 底 面与 面面 C () . rPOOPFr 5.2tan.60, 由 题 知， 则的 中 点 为线 段设 底 面 半 径 为 . t14,2cos5.2tan60t60tan, rPOF )23(),-2(3,1-.t1cos2cos CDCD . 27cos.-17O所 以 法二: 版权所有：中华资源库 31. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,在四 面体 中, 平面 , . 是 的中BCDABCD2,BDAMA 点, 是 的中点,点 在线段 上,且 .PMQQC3 (1)证明: 平面 ;(2)若二面角 的大小为 ,求 的大小./ M06C A B C D P Q M （第 20 题图） 【答案】解:证明()方法一:如图 6,取 的中点 ,且 是 中点,所以FMAD .因为 是 中点,所以 ;又因为() 且3AFPBM/PB3QC ,所以 ,所以面 面 ,且 面 ,所以D/QFQCPB 版权所有：中华资源库 面 ; /PQBDC 方法二:如图 7 所示,取 中点 ,且 是 中点,所以 ;取 的三BDOPBM1/2PODC 等分点 ,使 ,且 ,所以 ,所以H3C3AQ/4HA ,且 ,所以 面 ; /POQH ()如图 8 所示,由已知得到面 面 ,过 作 于 ,所以BCGB ,过 作 于 ,连接 ,所以 就是 的CGBMDCMD 二面角;由已知得到 ,设 ,所以 813D , cos,in2cos2cosin,2sinCGB 在 中 , ,所以在RTBsiniBGC 中, ,所以在 中 HG 221sin33siHRTCHG 2cosintantan6033CGCHGH 版权所有：中华资源库 ; tan3(0,9)6060BDC 32. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥 中,1ABC ,异面直线 与 所成角的大小为 ,求该三棱柱的体积.16A1BCA6 B1 A1 C1 A C B 【答案】解因为 . 1A 所以 为异面直线 与 .所成的角,即 = . 1B11BC6 在 Rt 中, , 1BC113tan62 从而 , 234ABCS 因此该三棱柱的体积为 . 1368ABCVS 33. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附 加题） ）本小题满分 14 分. 如图,在三棱锥 中,平面 平面 , , ,过 作SBCAAS ,垂足为 ,点 分别是棱 的中点.SBAFGE， 求证:(1)平面 平面 ; (2) ./ABABCE 【答案】证明:(1) , F 分别是 SB 的中点 ASSBF E.F 分别是 SA.SB 的中点 EFAB 又EF 平面 ABC, AB 平面 ABC EF平面 ABC 同理:FG平面 ABC 又EF FG=F, EF.FG 平面 ABC平面 平面 /EGAC 版权所有：中华资源库 (2)平面 平面 SABC 平面 平面 =BC AF 平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又BC 平面 SBC AFBC 又 , AB AF=A, AB.AF 平面 SAB BC平面 SAB 又SA 平面BCA SABBCSA 34. （2013 年高考上海卷（理） ）如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明 直线 BC1平行于平面 DA1C,并求直线 BC1到平面 D1AC 的距离.D 1 C1B1A1DCBA 【答案】因为 ABCD-A1B1C1D1为长方体,故 , 11/,ABCD 故 ABC1D1为平行四边形,故 ,显然 B 不在平面 D1AC 上,于是直线 BC1平行于1/ 平面 DA1C; 直线 BC1到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h 考虑三棱锥 ABCD1的体积,以 ABC 为底面,可得 (2)33V 而 中, ,故 1AC152A1ADCS 所以, ,即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为 . 323Vh 35. （2013 年高考湖北卷（理） ）如图, 是圆 的直径 ,点 是圆 上异于 的点,BOAB 直线 平面 , , 分别是 , 的中点.PCABEFPA (I)记平面 与平面 的交线为 ,试判断直线 与平面 的位置关系,并加CllPC 以证明; (II)设(I)中的直线 与圆 的另一个交点为 ,且点 满足 .记直线l DQ12 与平面 所成的角为 ,异面直线 与 所成的角为 ,二面角PQABPEF 的大小为 ,求证: .ElCsinsi 版权所有：中华资源库 第 19 题图 【答案】解:(I) , , EFACABC平 面 EFABC平 面 BA平 面 又 平 面 EFl PCA平 面 (II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很 麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的 处理方向有很大的偏差.) 版权所有：中华资源库 36. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）如图 1,在等 腰直角三角形 中, , , 分别是 上的点,ABC906BCDEACB , 为 的中点 .将 沿 折起,得到如图 2 所示的四棱锥2DEOA 版权所有：中华资源库 C D O x E A 向量法图 y z B ,其中 .ABCDE3AO () 证明: 平面 ; () 求二面角 的平面角的余弦值.BCEACDB .C O B D E A C D O B E 图 1 图 2 【答案】() 在图 1 中,易得 3,2,OA C D O B E H 连结 ,在 中,由余弦定理可得 EC 2cos45OOD 由翻折不变性可知 , 2A 所以 ,所以 , 2 理可证 , 又 ,所以 平面 . EAOBCDE () 传统法:过 作 交 的延长线于 ,连结 , OHCDH 因为 平面 ,所以 , AB 所以 为二面角 的平面角. A 结合图 1 可知, 为 中点,故 ,从而 32230AO 所以 ,所以二面角 的平面角的余弦值为 . 15cosOHA B15 向量法:以 点为原点,建立空间直角坐标系 如图所示, Oxyz 则 , , 030C12,D 版权所有：中华资源库 所以 , 0,3CA1,23DA 设 为平面 的法向量,则 nxyzC ,即 ,解得 ,令 ,得 0A 023zy3yxz1,3n 由() 知, 为平面 的一个法向量, ,ODB 所以 ,即二面角 的平面角的余弦15cos,3nAACDB 值为 . 15 37. （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案） ）如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱 A1A底面 ABCD, AB/DC, AB AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1的中点. () 证明 B1C1 CE; () 求二面角 B1-CE-C1的正弦值. () 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1所成角的正弦值为 , 求线段26 AM 的长. 【答案】 版权所有：中华资源库 版权所有：中华资源库 38. （2013 年高考新课标 1（理） ）如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60. ()证明 ABA 1C; ()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 版权所有：中华资源库 【答案】()取 AB 中点 E,连结 CE, 1AB, E, AB= 1A, 1B= 06, 1A是正三角形, EAB, CA=CB, CEAB, 1CEA=E,AB面 1CEA, AB 1AC; ()由()知 ECAB, 1EAAB, 又面 ABC面 B,面 ABC面 1B=AB,EC面 1B,EC 1EA, EA,EC, 1两两相互垂直,以 E 为坐标原点, A 的方向为 x轴正方向,| |为单位 长度,建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz, 有题设知 A(1,0,0), 1A(0, 3,0),C(0,0, 3),B(-1,0,0),则 BC =(1,0, 3), 1B =1A =(-1,0, ), C =(0,- , ), 设 n=(,)xyz是平面 1B的法向量, 则 10 ,即 30xzy ,可取 n=( 3,1,-1), cos,ACn= 1| |5 , 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 105 版权所有：中华资源库 39. （2013 年高考陕西卷（理） ）如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形, O 为 底面中心, A1O平面 ABCD, . 12AB () 证明: A1C平面 BB1D1D; () 求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 的大小. OD1B1C1DACBA1 【答案】解:() ;又因为,在正BDOACBDA11 ,面且面 方形 AB CD 中, . CCDC 11111, ， 故面且面所 以； 且 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . .11OART中 ，在 .EEEB 11 为 正 方 形 ， 所 以， 则 四 边 形的 中 点 为设 ， 所 以 由 以 上 三 点 得且，面面又 BDOD1111 ., .(证毕) CA1面 () 建立直角坐标系统,使用向量解题. 以 O 为原点,以 OC 为 X 轴正方向,以 OB 为 Y 轴正方向.则 . )1,0()1,(0()(01 CABAB，）（ 由()知, 平面 BB1D1D 的一个法向量 .0,1),(）（OCBn 设平面 OCB1的法向量为 ，则 0,22OCnn).1-,(向为解 得 其 中 一 个 . 2|,cos| 211 nn 所以,平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 为 3 40. （2013 年高考江西卷（理） ）如图,四棱锥 中,PABCD OD1B1C1DACBA1 版权所有：中华资源库 ,ABCDE平 面 为 的 中 点 GPD为 的 中 点 ， ,连接 并延长交 于 .312AB， CEADF (1) 求证: ;F平 面 (2) 求平面 与平面 的夹角的余弦值.BCP 【答案】解:(1)在 中,因为 是 的中点,所以 , ABDEB1EABD 故 , ,23B 因为 ,所以 , CC 从而有 , FE 故 ,又因为 所以 . ,A,PGFPA 又 平面 , PBD 所以 故 平面 . GC (3) 以点 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则 , 3(0,)(1,0)(,),(03)2AB 版权所有：中华资源库 (4) ,故 3(0)2P1333(0),(,)(,0)222BCPCD ， ， ， 设平面 的法向量 ,则 , 11(,)nyz 11032yz 解得 ,即 . 132yz1(,)3n 设平面 的法向量 ,则 ,解得 , DCP22(1,)nyz 230yz23yz 即 .从而平面 与平面 的夹角的余弦值为2(1,3)n BCPD . 12 42cos689 41. （2013 年高考四川卷（理） ）如图,在三棱柱 中,侧棱 底面 ,1ABC1ABC , , 分别是线段 的中点, 是线段12ABC20BA1D1P 的中点.D ()在平面 内,试作出过点 与平面 平行的直线 ,说明理由,并证明直线P1l 平面 ;l1 ()设()中的直线 交 于点 ,交 于点 ,求二面角 的余弦lABMCN1AMN 值. 版权所有：中华资源库 D1DC BA 1 B1C1AP 【答案】解: 如图,在平面 内,过点 做直线 / ,因为 在平面 外, ACPlBCl1ABC 在平面 内,由直线与平面平行的判定定理可知 , /平面 . BC1Al1ABC 由已知, , 是 的中点,所以, ,则直线 . DBCBD 因为 平面 ,所以 直线 .又因为 在平面 内,且11Al1A1 与 相交,所以直线平面 解法一: 连接 ,过 作 于 ,过 作 于 ,连接 . 1AP1EAPE1FAMF 由 知 , 平面 ,所以平面 平面 . MNN 所以 平面 ,则 . 11 所以 平面 ,则 . 1AEFA 故 为二面角 的平面角(设为 ). 1N 设 ,则由 , ,有 , . 112BC20B60BAD2,1A 又 为 的中点,所以 为 的中点,且 , PADMA1,PM 在 中, ;在 中, . 1Rt152P1Rt12A 版权所有：中华资源库 从而, , ,15APE12AMF 所以 . 2sinF 所以 . 2215co1si 故二面角 的余弦值为 1AMN 解法二: 设 .如图,过 作 平行于 ,以 为坐标原点,分别以 , 的11E1BC1A1AED1 方向为 轴, 轴, 轴的正方向 ,建立空间直角坐标系 (点 与点 重合). xyz Oxyz 则 , . 10A,1 因为 为 的中点,所以 分别为 的中点, PD,MNABC 故 , 33,1122M 所以 , , . 1A 10A3,0 设平面 的一个法向量为 ,则 111,nxyz 即 故有 1,nMA 10,n 版权所有：中华资源库 1 31,0,2xyz 从而 11 30,2.xyz 取 ,则 ,所以 . 111,30n 设平面 的一个法向量为 ,则 AMN22xyz 即 故有 21,n 210,n231,0,2,xyz 从而 22 30,.xyz 取 ,则 ,所以 . 2y21z2,1n 设二面角 的平面角为 ,又 为锐角, AMN 则 . 12,30,15cos5n 故二面角 的余弦值为 1AN 42. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附 加题） ）本小题满分 10 分. 如图,在直三棱柱 中, , , ,点 是1BCACB2A41D 的中点BC (1)求异面直线 与 所成角的余弦值1D (2)求平面 与 所成二面角的正弦值.AB 版权所有：中华资源库 【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用 空间向量解决问题的能力. 解:(1)以 为为单位正交基底建立空间直角坐标系 , 1,ACB xyzA 则 , , , , )0,(A)2(B)0(C)4(1A)01(D)4,2(C ,41,1 10382,cos1BAD 异面直线 与 所成角的余弦值为 1C (2) 是平面 的的一个法向量 )0,2(A1 设平面 的法向量为 , , 1D),(zyxm)01(AD)4,2(1C 由 1,Cm 取 ,得 ,平面 的法向量为 042zyxz2,xy1 )1,2(m 设平面 与 所成二面角为 1AD1B 版权所有：中华资源库 , 得 324,cos mAC 35sin 平面 与 所成二面角的正弦值为 1ADC1B5 43. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）如 图,四棱锥 中, 与 都是P902,ACBDCAPB， AD 等边三角形. (I)证明: (II)求二面角 的大小.;BDP 【答案】 版权所有：中华资源库 44. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）如图所示,在三 棱锥 PABQ中, 平面 ABQ, PB,DCEF 分别是, 的中点, 2, 与 交于点 G,P与 Q交于点 H, 连接 GH. ()求证: AB; ()求二面角 DHE的余弦值. 版权所有：中华资源库 【答案】解:()证明:因为 ,DCEF 分别是 ,AQBP的中点, 所以 EF AB, ,所以 , 又 平面 P, 平面 P, 所以 平面 CD, 又 EF平面 Q,平面 EF平面 CDGH, 所以 GH, 又 AB, 所以 . ()解法一:在 Q中, 2ABD, Q, 所以 =90AB ,即 ,因为 P平面 A,所以 BP, 又 P,所以 平面 ,由()知 GH, 所以 GH平面 Q,又 FH平面 BQ,所以 F,同理可得 C, 所以 FC为二面角 DGE的平面角,设 2ABP,连接 , 在 tR B中,由勾股定理得, 2C, 在 P中,由勾股定理得, 5P, 版权所有：中华资源库 又 H为 PBQ的重心,所以 153HCP 同理 53F , 在 HC中,由余弦定理得 5249cosFHC , 即二面角 DGE的余弦值为 45 . 解法二:在 ABQ中, 2D, AQ, 所以 90,又 P平面 B,所以 BP两两垂直, 以 为坐标原点,分别以 ,所在直线为 x轴, y轴, z轴,建立如图所示的空 间直角坐标系,设 2AQ,则 (10)E, (1)F, (02)Q, (1,0)D,(01)C(,2)P ,所以 ( , , P , , 设平面 EFQ的一个法向量为 1(,)mxyz , 由 0m , , 得 112xyz 取 1,得 (0,) . 设平面 PDC的一个法向量为 2(,)nxyz 由 n , , 得 220xyz 取 21z,得 (0,21)n .所以 4cos,5mn 版权所有：中华资源库 因为二面角 DGHE为钝角,所以二面角 DGHE的余弦值为 45 . 45. （2013 年高考湖南卷（理） ）如图 5,在直棱柱 ,1/ABCADBC中 ， , .90,1BACB 13 (I)证明: ; (II)求直线 所成角的正弦值.1ACBD11BCAD与 平 面 【答案】解: () ACB 111 ,面且面是 直 棱 柱 . DBABBA11, ，面。面且又 (证毕) () 。的 夹 角与 平 面的 夹 角 即 直 线与 平 面直 线 1111,/ ACDCDC 轴 正 半 轴 。为轴 正 半 轴 ，为点 ，量 解 题 。 设 原 点 在建 立 直 角 坐 标 系 ， 用 向 XYAB BDACyDyCyBDA ),03(),01()0,1(),0(),3(),03(,1 ， 则，设 ).,(),3(.3, 12 AyBC ），（），（的 一 个 法 向 量平 面则的 法 向 量 为设 平 面 30,3-.0, 111 AnADnCA 7213|,cos|i3,3-1 DCD），（），（的 一 个 法 向 量平 面 版权所有：中华资源库 . 72111夹 角 的 正 弦 值 为与 平 面所 以 ACDB 46. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,在四 棱柱 中,侧棱 , , , ,11ABCD底 面 /A13ABk , , .4Ak5B6k(0) (1)求证: 1;CD平 面 (2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ,求 的值;1A67k (3)现将与四棱柱 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新1BCD 的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问: 共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为 ,写出()fk 的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)fk 【答案】解:()取 中点 ,连接 CDEB , /ABEQ3k 四边形 为平行四边形 且 4A 在 中, V,5k 22BEC ,即 ,又 ,所以 90BED/AQCD 平面 , 平面 1AQ ,又 , 1AI 平面 CD ()以 为原点, 的方向为 轴的正方向建立如图所示的空间直角1,CDurr,xyz 版权所有：中华资源库 坐标系 , , , (40)Ak(60)Ck1(43)Bk1(4,0)A 所以 , , , urAur,ur 设平面 的法向量 ,则由 1B()nxyz10CnAB r 得 取 ,得 4603kxyz2(3,6)k 设 与平面 所成角为 ,则 1A1BC11,sin|co,|Anurr ,解得 .故所求 的值为 1 2673kkk ()共有 种不同的方案 4 256,018()3,kkf 47. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）如 图,直棱柱 1ABC中, DE分别是 1,AB的中点, 12ACBA. ()证明: 1/平面 1; ()求二面角 1E的正弦值.ABCD11BE 【答案】 版权所有：中华资源库 48. （2013 年高考北京卷（理） ）如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中, AA1C1C 是边长为 4 的正方 形,平面 ABC平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. ()求证: AA1平面 ABC; ()求二面角 A1-BC1-B1的余弦值; ()证明:在线段 BC1存在点 D,使得 AD A1B,并求 的值.1DC 【答案】解: (I)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1 AC. 因为平面 ABC平面 AA1C1C,且 AA1垂直于这两个平面的交线 AC,所以 AA1平面 ABC. (II)由(I)知 AA1 AC,AA 1 AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 ABAC. 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A- ,则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), xyz 设平面 A1BC1的法向量为 ,则 ,即 , )n=(10ABC n340yzx 版权所有：中华资源库 令 ,则 , ,所以 . 3z0x4y(0,43)n= 同理可得,平面 BB1C1的法向量为 ,所以 . 由m16cos25nm,| 题知二面角 A1-BC1-B1为锐角,所以二面角 A1-BC1-B1的余弦值为 . (III)设 D 是直线 BC1 上一点,且 . 所以 .解(,)xyzBDC (,3)(4,)xyz 得 , , . 434 所以 . (,)A 由 ,即 .解得 . 10DB9250925 因为 ,所以在线段 BC1上存在点 D, 25 使得 ADA 1B. 此时, . 19BC